Decomposizione non accorciabile
Ciao, amici! Trovo sul Bosch un esercizio in cui si parla di decomposizioni non accorciabili di un sottoinsieme algebrico $U=U_1\cap ...\cap U_r$. Googlando ho trovato solo... la pagina del mio libro in cui si usa quest'espressione nell'esercizio 4.
La prima parte (i) la risolverei osservando che, mi pare -ma temo che l'assenza di soluzione nel libro mi porti a convincermi di soluzioni poco probabili da me fabbricate magari forzosamente-, \(V(I(U_1))\cup V(I(U_2))=V(I(U_1)\cdot I(U_2))\), ma non sono certo di che cosa significhi la (ii)...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
\(\infty\) grazie!!!
La prima parte (i) la risolverei osservando che, mi pare -ma temo che l'assenza di soluzione nel libro mi porti a convincermi di soluzioni poco probabili da me fabbricate magari forzosamente-, \(V(I(U_1))\cup V(I(U_2))=V(I(U_1)\cdot I(U_2))\), ma non sono certo di che cosa significhi la (ii)...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
\(\infty\) grazie!!!
Risposte
Il termine accorciabile non è propriamente tecnico: vuole semplicemente dire che se tu prendi \(r-1\) di quei sottoinsiemi allora la loro unione è diversa da \(U\).
Il primo punto non è difficile, ma è un po’ più macchinoso della tua osservazione. Supponiamo \(U\) riducibile, cioè se \(U = U_1\cup U_2\) con \(U\neq U_i\) per \(\displaystyle i = 1,2 \). Allora esistono \(\displaystyle f_i \in I(U_i) \) tali che \(\displaystyle f_i\notin I(U) \) (in altre parole almeno un polinomio che si annulla su \(U_i\) non si annulla su tutto \(U\) ). D'altra parte, essendo \(U = U_1\cup U_2\) si deve avere \(\displaystyle f_1f_2\in I(U) \) e quindi \(\displaystyle I(U) \) non è primo. Viceversa se \(\displaystyle U \) irriducibile e siano \(\displaystyle f_1, f_2\notin I(U) \) e \(\displaystyle U_1, U_2 \) i sottoinsiemi algebrici di \(\displaystyle U \) in cui \(\displaystyle f_1 \) e \(\displaystyle f_2 \) si annullano. Siccome \(\displaystyle U \) è irriducibile allora risulterà \(\displaystyle U_1\cup U_2\subset U \) ed esiste \(\displaystyle u\in U\setminus (U_1\cup U_2) \). Ma allora \(\displaystyle f_1(u)f_2(u)\neq 0 \) e quindi \(\displaystyle f_1f_2\notin I(U) \). Per la generalità di \(\displaystyle f_1 \) e \(\displaystyle f_2 \), \(\displaystyle I(U) \) risulterà quindi primo.
Per il secondo punto ci penso domani.
Il primo punto non è difficile, ma è un po’ più macchinoso della tua osservazione. Supponiamo \(U\) riducibile, cioè se \(U = U_1\cup U_2\) con \(U\neq U_i\) per \(\displaystyle i = 1,2 \). Allora esistono \(\displaystyle f_i \in I(U_i) \) tali che \(\displaystyle f_i\notin I(U) \) (in altre parole almeno un polinomio che si annulla su \(U_i\) non si annulla su tutto \(U\) ). D'altra parte, essendo \(U = U_1\cup U_2\) si deve avere \(\displaystyle f_1f_2\in I(U) \) e quindi \(\displaystyle I(U) \) non è primo. Viceversa se \(\displaystyle U \) irriducibile e siano \(\displaystyle f_1, f_2\notin I(U) \) e \(\displaystyle U_1, U_2 \) i sottoinsiemi algebrici di \(\displaystyle U \) in cui \(\displaystyle f_1 \) e \(\displaystyle f_2 \) si annullano. Siccome \(\displaystyle U \) è irriducibile allora risulterà \(\displaystyle U_1\cup U_2\subset U \) ed esiste \(\displaystyle u\in U\setminus (U_1\cup U_2) \). Ma allora \(\displaystyle f_1(u)f_2(u)\neq 0 \) e quindi \(\displaystyle f_1f_2\notin I(U) \). Per la generalità di \(\displaystyle f_1 \) e \(\displaystyle f_2 \), \(\displaystyle I(U) \) risulterà quindi primo.
Per il secondo punto ci penso domani.
$\infty$ grazie, Vict!!!!
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