Decomposizione in somma diretta ortogonale
Buongiorno a tutti,
sto cercando una dimostrazione del seguente teorema:
Sia $V$ uno spazio vettoriale (di dimensione qualunque) su campo $K$, dotato di un prodotto interno non degenere*; sia $W$ un sottospazio non singolare** e finito-dimensionale. Allora si ha la decomposizione in somma diretta $V=W\oplus W^\bot$.
*Con prodotto interno non degenere intendo una forma bilineare simmetrica $(\quad , \quad): V\times V\to K$, tale che la condizione $(x,y)=0$ $\forall y\in V$ implichi $x=0_V$.
**Con sottospazio non singolare $W$ intendo un sottospazio vettoriale tale che la restrizione a $W\times W$ del prodotto interno sia non degenere.
Ho trovato su moltissimi libri la dimostrazione del teorema nel caso in cui $V$ abbia dimensione finita; mi servirebbe però la dimostrazione del teorema nel caso in cui $V$ abbia dimensione qualunque (sempre supponendo che il sottospazio $W$ sia finito-dimensionale). Qualcuno saprebbe indicarmi un testo (in qualsiasi lingua) che riporti questa dimostrazione?
Grazie!
E.\(\displaystyle \)
sto cercando una dimostrazione del seguente teorema:
Sia $V$ uno spazio vettoriale (di dimensione qualunque) su campo $K$, dotato di un prodotto interno non degenere*; sia $W$ un sottospazio non singolare** e finito-dimensionale. Allora si ha la decomposizione in somma diretta $V=W\oplus W^\bot$.
*Con prodotto interno non degenere intendo una forma bilineare simmetrica $(\quad , \quad): V\times V\to K$, tale che la condizione $(x,y)=0$ $\forall y\in V$ implichi $x=0_V$.
**Con sottospazio non singolare $W$ intendo un sottospazio vettoriale tale che la restrizione a $W\times W$ del prodotto interno sia non degenere.
Ho trovato su moltissimi libri la dimostrazione del teorema nel caso in cui $V$ abbia dimensione finita; mi servirebbe però la dimostrazione del teorema nel caso in cui $V$ abbia dimensione qualunque (sempre supponendo che il sottospazio $W$ sia finito-dimensionale). Qualcuno saprebbe indicarmi un testo (in qualsiasi lingua) che riporti questa dimostrazione?
Grazie!
E.\(\displaystyle \)
Risposte
Cerca su qualsiasi testo o dispensa parli di teoria degli spazi di Hilbert. O anche sul testo di algebra di Herstein.
Innazitutto grazie della risposta!
Il testo di Herstein (se intendi "Topics of algebra") fa la dimostrazione sul campo reale o complesso (facendo ricorso a proprietà degli spazi con prodotto interno su R o C), e soprattutto per spazi finito-dimensionali.
Gli spazi di Hilbert sono sempre reali e complessi, e la dimostrazione del teorema per spazi di Hilbert fa uso di proprietà di R e C.
Mi servirebbe una dim. per spazi su K arbitrario.
Il testo di Herstein (se intendi "Topics of algebra") fa la dimostrazione sul campo reale o complesso (facendo ricorso a proprietà degli spazi con prodotto interno su R o C), e soprattutto per spazi finito-dimensionali.
Gli spazi di Hilbert sono sempre reali e complessi, e la dimostrazione del teorema per spazi di Hilbert fa uso di proprietà di R e C.
Mi servirebbe una dim. per spazi su K arbitrario.
Ah scusa, non avevo visto questa sottigliezza. Ci devo pensare... Ma sei sicuro che la proposizione sia vera se \(\mathbb{K}\) è diverso da \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)? In effetti non l'ho mai incontrata in questa generalità. Prova intanto a dare un'occhiata agli appunti di Maurizio Cailotto, fa un corso di geometria dal sapore molto algebrico e si interessa spesso a questioni del genere:
http://www.math.unipd.it/~maurizio/g1/AGLQ910pp.pdf
http://www.math.unipd.it/~maurizio/g1/AGLQ910pp.pdf
Purtroppo anche negli appunti che mi indichi tu il teorema è dato per spazi vettoriali reali finito-dimensionali.
Sto facendo una tesi sulle algebre di composizione (quaternioni, ottonioni...) su $\mathbb{K}$ arbitrario, e il libro che seguo ('Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups' di Springer) nell'introduzione cita senza dimostrazione questo teorema (le referenze che dà però non lo dimostrano nel caso generale
); nel seguito della trattazione il teorema viene utilizzato quindi credo proprio sia vero! 
Se $V$ è un $\mathbb{K}$-spazio vett. finito-dimensionale ($\mathbb{K}$ arbitrario), la dimostrazione si può fare così. Si sfrutta il fatto che $\dim V=\dim W+\dim W^\bot$ (questo vale per $\mathbb{K}$ arbitrario, vedi ad es. thm 9, paragrafo 37, Algebra lineare di Lang), e la formula di Grassman per affermare che
$\dim (W+W^\bot)=\dim W+\dim W^\bot-\dim(W\cap W^\bot)=\dim W+\dim W^\bot-0=\dim V$
da cui $V=W+W^\bot$, e la somma è diretta perché il prodotto interno è non degenere.
Questo però nel caso $\dim V<\infty$.
Il fatto che il teorema valga per $V$ di dimensione qualunque ma $W$ finito-dimensionale mi fa pensare che la dim. vada fatta per induzione su $\dim W$. Per $\dim W=0$, $W^\bot=V$ quindi ok. Ma come procedere?
Sto facendo una tesi sulle algebre di composizione (quaternioni, ottonioni...) su $\mathbb{K}$ arbitrario, e il libro che seguo ('Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups' di Springer) nell'introduzione cita senza dimostrazione questo teorema (le referenze che dà però non lo dimostrano nel caso generale
); nel seguito della trattazione il teorema viene utilizzato quindi credo proprio sia vero! Se $V$ è un $\mathbb{K}$-spazio vett. finito-dimensionale ($\mathbb{K}$ arbitrario), la dimostrazione si può fare così. Si sfrutta il fatto che $\dim V=\dim W+\dim W^\bot$ (questo vale per $\mathbb{K}$ arbitrario, vedi ad es. thm 9, paragrafo 37, Algebra lineare di Lang), e la formula di Grassman per affermare che
$\dim (W+W^\bot)=\dim W+\dim W^\bot-\dim(W\cap W^\bot)=\dim W+\dim W^\bot-0=\dim V$
da cui $V=W+W^\bot$, e la somma è diretta perché il prodotto interno è non degenere.
Questo però nel caso $\dim V<\infty$.
Il fatto che il teorema valga per $V$ di dimensione qualunque ma $W$ finito-dimensionale mi fa pensare che la dim. vada fatta per induzione su $\dim W$. Per $\dim W=0$, $W^\bot=V$ quindi ok. Ma come procedere?
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