Decomposizione in primi in un anello degli interi
Ciao a tutti!
Sto studiando per fare l'esame di Teoria dei Numeri, e ho un problema con questo esercizio:
consideriamo l'estensione $ \mathbb(Q) [\alpha] $ su $\mathbb(Q) $ dove $\alpha$ è un numero complesso tale che $\alpha^5 = 5 ( \alpha + 1) $, e sia $ R = \mathbb(A) \cap \mathbb(Q) [\alpha] $, cioè l'anello degli interi algebrici in $\mathbb(Q) [\alpha] $ [che significa quegli elementi in $\mathbb(Q) [\alpha] $ che sono radici di un polinomio monico a coefficenti in $\mathbb(Z)$ ]. Il mio problema è quello di trovare l'ordine del quoziente: $ S // \mathbb(Z)[\alpha] $.
La mia idea è stata quella di scrivere un generico elemento di $ R $, che è del tipo $ a_0 + a_1 \alpha + ... + a_4 \alpha^4 $, e vedere quando questo è radice di un polinomio monico a coefficenti interi. Ma ho fatto solo un sacco di conti che non mi hanno portato a niente!
Qualcuno sa come aiutarmi perfavore?
Grazie mille in anticipo (:
Sto studiando per fare l'esame di Teoria dei Numeri, e ho un problema con questo esercizio:
consideriamo l'estensione $ \mathbb(Q) [\alpha] $ su $\mathbb(Q) $ dove $\alpha$ è un numero complesso tale che $\alpha^5 = 5 ( \alpha + 1) $, e sia $ R = \mathbb(A) \cap \mathbb(Q) [\alpha] $, cioè l'anello degli interi algebrici in $\mathbb(Q) [\alpha] $ [che significa quegli elementi in $\mathbb(Q) [\alpha] $ che sono radici di un polinomio monico a coefficenti in $\mathbb(Z)$ ]. Il mio problema è quello di trovare l'ordine del quoziente: $ S // \mathbb(Z)[\alpha] $.
La mia idea è stata quella di scrivere un generico elemento di $ R $, che è del tipo $ a_0 + a_1 \alpha + ... + a_4 \alpha^4 $, e vedere quando questo è radice di un polinomio monico a coefficenti interi. Ma ho fatto solo un sacco di conti che non mi hanno portato a niente!
Qualcuno sa come aiutarmi perfavore?
Grazie mille in anticipo (:
Risposte
Il quadrato dell’indice $[R:ZZ[\alpha]]$ divide il discriminante di $X^5-5X-5$,
il quale e’ uguale a $9\cdot 5^5\cdot41$. Il fatto che $X^5-5X-5$ e’ un polinomio
di Eisenstein rispetto al primo $5$, implica che $5$ non divide l’indice.
L’indice e’ quindi un divisore di $3$.
Per vedere che l’indice e’ uguale a $3$, basta esibire un elemento
intero che non sta in $ZZ[\alpha]$. Osserviamo che
$X^5-5X-5=(X-1)^2(X^3-X^2+1)$ modulo $3$.
L’anello $ZZ[\alpha]//(3)$ contiene quindi elementi nilpotenti. Infatti,
il suo nilradicale e’ generato da $\beta=(\alpha-1)(\alpha^3-\alpha^2+1)$.
Un piccolo calcolo fa vedere che la molteplicazione per $\beta//3$ manda
l’ideale $(3,\alpha-1)$ di $ZZ[\alpha]$ in se stesso. Quindi $\beta//3$ e’ intero.
Pero', non sta in $ZZ[\alpha]$.
il quale e’ uguale a $9\cdot 5^5\cdot41$. Il fatto che $X^5-5X-5$ e’ un polinomio
di Eisenstein rispetto al primo $5$, implica che $5$ non divide l’indice.
L’indice e’ quindi un divisore di $3$.
Per vedere che l’indice e’ uguale a $3$, basta esibire un elemento
intero che non sta in $ZZ[\alpha]$. Osserviamo che
$X^5-5X-5=(X-1)^2(X^3-X^2+1)$ modulo $3$.
L’anello $ZZ[\alpha]//(3)$ contiene quindi elementi nilpotenti. Infatti,
il suo nilradicale e’ generato da $\beta=(\alpha-1)(\alpha^3-\alpha^2+1)$.
Un piccolo calcolo fa vedere che la molteplicazione per $\beta//3$ manda
l’ideale $(3,\alpha-1)$ di $ZZ[\alpha]$ in se stesso. Quindi $\beta//3$ e’ intero.
Pero', non sta in $ZZ[\alpha]$.
Grazie mille Stickelberger 
Non ho ancora studiato di preciso cosa sia un nilradicale, ma cercando la definizione penso di aver capito la soluzione.
Ancora grazie mi sei stato di grande aiuto (:
Non ho ancora studiato di preciso cosa sia un nilradicale, ma cercando la definizione penso di aver capito la soluzione.
Ancora grazie mi sei stato di grande aiuto (:
Ciao Stickelberger (:
stavo rileggendo la risposta che mi hai dato un paio di giorni fa e non mi sono perfettamente chiare le prime righe:
non riesco a capire come mai valga l'implicazione che se $5$ è il primo che va bene per Eisenstein allora $5$ non divide l'indce.
Avresti cinque minuti per farmi un pò di chiarezza?
Grazie mille intanto! (:
stavo rileggendo la risposta che mi hai dato un paio di giorni fa e non mi sono perfettamente chiare le prime righe:
non riesco a capire come mai valga l'implicazione che se $5$ è il primo che va bene per Eisenstein allora $5$ non divide l'indce.
Avresti cinque minuti per farmi un pò di chiarezza?
Grazie mille intanto! (:
Se il polinomio minimo di $\alpha$ e’ di Eisenstein rispetto al primo $p$,
allora $P=(p,\alpha)$ e’ l’unico ideale primo di $ZZ[\alpha]$ che contiene $p$.
La proprieta’ di Eisenstein implica che l’ideale massimale del anello
locale $ZZ[\alpha]_P$ e’ generato da $\alpha$. Questo implica che $ZZ[\alpha]_P$ e’ un PID
ed e’ quindi integralmente chiuso. Conclusione: $p$ non divide l’indice.
allora $P=(p,\alpha)$ e’ l’unico ideale primo di $ZZ[\alpha]$ che contiene $p$.
La proprieta’ di Eisenstein implica che l’ideale massimale del anello
locale $ZZ[\alpha]_P$ e’ generato da $\alpha$. Questo implica che $ZZ[\alpha]_P$ e’ un PID
ed e’ quindi integralmente chiuso. Conclusione: $p$ non divide l’indice.
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