Decomposizione in anelli degli interi
Buongiorno a tutti,
vi chiedo aiuto per un esercizio su cui ho dei dubbi.
La richiesta è: posto $ K = mathbb(Q) (zeta_20) $, dove $ zeta_20 $ è la radice ciclotomica 20-esima, trovare la decomposizione di $ 5 cdot O_K $ come prodotto di ideali primi di $ O_K $ ($ O_K $ è l'anello degli interi di $ K $).
Con 2 metodi diversi arrivo a 2 soluzioni che sono diverse, almeno in apparenza... eccole, in breve:
1) Mia soluzione: considero il polinomio minimo $ Phi _20(X) $, che ha grado 8, lo riduco direttamente modulo 5, passo agli ideali di $ O_K $ e trovo che $ 5 cdot O_K = \mathcal(P_1)^4 cdot \mathcal(P_2)^4 $, dove $ \mathcal(P_1) = (5,zeta_20 +2) $ e $ \mathcal(P_2) = (5,zeta_20 -2) $ sono ideali primi di $ O_K $.
2) Soluzione del prof: considero il sottocampo intermedio $ E = mathbb(Q) (zeta_5) $ e qui decompongo $ 5 cdot O_E = \mathcal(T)^4 $, poi decompongo $ \mathcal(T) cdot O_K $. Alla fine arrivo a $ 5 cdot O_K = \mathcal(P_1)^4 cdot \mathcal(P_2)^4 $, dove (diversamente da prima!) $ \mathcal(P_1) = (5,zeta_5 -1, zeta_4 +2) $ e $ \mathcal(P_2) = (5,zeta_5 -1, zeta_4 -2) $.
Le due soluzioni sono in realtà la stessa cosa e io non lo vedo?
Oppure, visto che la decomposizione esiste unica, la mia non è in ideali primi?
O ho sbagliato altro? (Credo che i conti siano giusti)
Grazie e buona giornata!
vi chiedo aiuto per un esercizio su cui ho dei dubbi.
La richiesta è: posto $ K = mathbb(Q) (zeta_20) $, dove $ zeta_20 $ è la radice ciclotomica 20-esima, trovare la decomposizione di $ 5 cdot O_K $ come prodotto di ideali primi di $ O_K $ ($ O_K $ è l'anello degli interi di $ K $).
Con 2 metodi diversi arrivo a 2 soluzioni che sono diverse, almeno in apparenza... eccole, in breve:
1) Mia soluzione: considero il polinomio minimo $ Phi _20(X) $, che ha grado 8, lo riduco direttamente modulo 5, passo agli ideali di $ O_K $ e trovo che $ 5 cdot O_K = \mathcal(P_1)^4 cdot \mathcal(P_2)^4 $, dove $ \mathcal(P_1) = (5,zeta_20 +2) $ e $ \mathcal(P_2) = (5,zeta_20 -2) $ sono ideali primi di $ O_K $.
2) Soluzione del prof: considero il sottocampo intermedio $ E = mathbb(Q) (zeta_5) $ e qui decompongo $ 5 cdot O_E = \mathcal(T)^4 $, poi decompongo $ \mathcal(T) cdot O_K $. Alla fine arrivo a $ 5 cdot O_K = \mathcal(P_1)^4 cdot \mathcal(P_2)^4 $, dove (diversamente da prima!) $ \mathcal(P_1) = (5,zeta_5 -1, zeta_4 +2) $ e $ \mathcal(P_2) = (5,zeta_5 -1, zeta_4 -2) $.
Le due soluzioni sono in realtà la stessa cosa e io non lo vedo?
Oppure, visto che la decomposizione esiste unica, la mia non è in ideali primi?
O ho sbagliato altro? (Credo che i conti siano giusti)
Grazie e buona giornata!
Risposte
Le decomposizioni sono le stesse. Per vedere per esempio che [tex](5,\zeta_{20}+2) = (5,\zeta_5-1,\zeta_4+2)[/tex] scegli [tex]\zeta_{20} = -\zeta_5 \zeta_4[/tex]. Mi pare che funzioni.
Grazie!
In effetti mi mancava quella relazione... (facendo il conto ho visto che il $ - $ sembra riferirsi solo alla parte reale), così sembra tornare.
Se posso abusare della tua pazienza
, c'è una regola immediata e generale per il risultato di prodotti di radici ciclotomiche (almeno di radici "coprime", se così si possono chiamare)?
Cioè, per le potenze ho notato che (almeno quando $ MCD(a,b) = 1 $) $ zeta _{ab} ^ a = zeta_b $... ma per i prodotti non trovo niente!
In effetti mi mancava quella relazione... (facendo il conto ho visto che il $ - $ sembra riferirsi solo alla parte reale), così sembra tornare.
Se posso abusare della tua pazienza
, c'è una regola immediata e generale per il risultato di prodotti di radici ciclotomiche (almeno di radici "coprime", se così si possono chiamare)?Cioè, per le potenze ho notato che (almeno quando $ MCD(a,b) = 1 $) $ zeta _{ab} ^ a = zeta_b $... ma per i prodotti non trovo niente!
Per "radice ciclotomica primitiva n-esima" intendi $e^{i 2 \pi / n}$? In tal caso non sono a conoscenza di regole particolari, ma in genere il simbolo $\zeta_n$ indica una radice primitiva generica...
Sì intendevo proprio quello! Visto che avevi scritto $ zeta_20 = -zeta_5 zeta_4 $ ho pensato all'esistenza di qualche regola generale... ma va bene lo stesso, grazie
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