Decomposizione gruppo abeliano

[thedarkhero]

Considero $G$ gruppo abeliano di ordine $120=2^3*3*5$.
Siccome i gruppi abeliani finiti sono prodotto diretto di gruppi ciclici deve essere $G~=C_2xC_2xC_2xC_3xC_5$ oppure $G~=C_2xC_4xC_3xC_5$ oppure $G~=C_8xC_3xC_5$.
Se aggiungo l'ipotesi che $G$ abbia esattamente 3 elementi di ordine 2 posso in qualche modo scartare alcuni di questi 3 isomorfismi?

[Studente Anonimo]

Sì, basta che conti gli elementi di ordine due in ognuno di quei tre gruppi.

[thedarkhero]

Se non sbaglio $G~=C_2xC_2xC_2xC_3xC_5$ ha 3 elementi di ordine 2 (sono $(g,1,1,1,1)$, $(1,g,1,1,1)$ e $(1,1,g,1,1)$ con $g!=1$).
$G~=C_2xC_4xC_3xC_5$ ha 2 elementi di ordine 2 (sono $(g_1,1,1,1)$ e $(1,g_2^2,1,1,1)$ con $C_2=$ e $C_4=$).
$G~=C_8xC_3xC_5$ ha 1 elemento di ordine 2 (è $(g,1,1)$ con $C_8=$).
Dunque la decomposizione corretta dovrebbe essere $G~=C_2xC_2xC_2xC_3xC_5$.
Ti ringrazio!

[Studente Anonimo]

No, no.

[tex]C_2 \times C_2 \times C_2[/tex] ha sette elementi di ordine 2 (tutti gli elementi non identici).
[tex]C_2 \times C_4[/tex] ha tre elementi di ordine 2 e sono [tex](x,1),(1,y),(x,y)[/tex] dove [tex]x,y[/tex] hanno ordine 2.

Quindi il gruppo giusto è [tex]C_2 \times C_4 \times C_3 \times C_5[/tex].

Prego, ciao!

[thedarkhero]

Ah già, avevo contato in modo completamente sbagliato!
Recepito, grazie ancora!