Decomposizione di ideali
Ciao a tutti
ho il seguente esercizio:
1. Sia \(\displaystyle A \) un anello, e \(\displaystyle I \) un ideale. Se \(\displaystyle (I,u,v)=1 \) allora \(\displaystyle (I,uv)=(I,u)\cap (I,v) \).
2. Se richiediamo solo che \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \) non abbiano divisori comuni, la proprietà precedente è ancora vera? Sotto quali condizioni su \(\displaystyle A \) e/o \(\displaystyle I \) è vera?
Il primo punto è una banalità: l'inclusione \(\displaystyle \subseteq \) è ovvia, mentre per quanto riguarda l'altra, se \(\displaystyle 1=a+su+tv \) e \(\displaystyle x \in (I,u)\cap (I,v) \), allora diciamo \(\displaystyle x= i + ku=j+hv \) e abbiamo \(\displaystyle x=ax+sux+tvx=ax+su(j+hv)+tv(i+ku)=(ax+suj+tvi)+(sh+tk)uv \in (I,uv) \).
Il secondo punto me lo sono "inventato". La proprietà di non avere divisori comuni è strettamente più debole di quella al punto 1, come si osserva facilmente ad esempio sugli ideali in un anello di polinomi in più variabili su un campo. Proprio in questo caso pare che la proprietà valga, ma non riesco a dimostrarlo ne a confutarlo. Mi aiutate?
Grazie a tutti
ho il seguente esercizio:
1. Sia \(\displaystyle A \) un anello, e \(\displaystyle I \) un ideale. Se \(\displaystyle (I,u,v)=1 \) allora \(\displaystyle (I,uv)=(I,u)\cap (I,v) \).
2. Se richiediamo solo che \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \) non abbiano divisori comuni, la proprietà precedente è ancora vera? Sotto quali condizioni su \(\displaystyle A \) e/o \(\displaystyle I \) è vera?
Il primo punto è una banalità: l'inclusione \(\displaystyle \subseteq \) è ovvia, mentre per quanto riguarda l'altra, se \(\displaystyle 1=a+su+tv \) e \(\displaystyle x \in (I,u)\cap (I,v) \), allora diciamo \(\displaystyle x= i + ku=j+hv \) e abbiamo \(\displaystyle x=ax+sux+tvx=ax+su(j+hv)+tv(i+ku)=(ax+suj+tvi)+(sh+tk)uv \in (I,uv) \).
Il secondo punto me lo sono "inventato". La proprietà di non avere divisori comuni è strettamente più debole di quella al punto 1, come si osserva facilmente ad esempio sugli ideali in un anello di polinomi in più variabili su un campo. Proprio in questo caso pare che la proprietà valga, ma non riesco a dimostrarlo ne a confutarlo. Mi aiutate?
Grazie a tutti
Risposte
Non e’ vero che la condizione “che $u$ e $v$ non abbiano divisori comuni”
e’ strettamente piu’ debole di $(I,u,v)=1$. Basta prendere $A=ZZ$, $u=6$, $v=10$
e $I$ l’ideale generato da $15$.
Infatti, mi chiedo cosa intendi con “che $u$ e $v$ non abbiano divisori comuni”.
Perche’ la condizione $(u,v)=1$ non e’ piu’ debole, ma piu’ forte di $(I,u,v)=1$.
e’ strettamente piu’ debole di $(I,u,v)=1$. Basta prendere $A=ZZ$, $u=6$, $v=10$
e $I$ l’ideale generato da $15$.
Infatti, mi chiedo cosa intendi con “che $u$ e $v$ non abbiano divisori comuni”.
Perche’ la condizione $(u,v)=1$ non e’ piu’ debole, ma piu’ forte di $(I,u,v)=1$.
"Stickelberger":
Non e’ vero che la condizione “che $u$ e $v$ non abbiano divisori comuni”
e’ strettamente piu’ debole di $(I,u,v)=1$. Basta prendere $A=ZZ$, $u=6$, $v=10$
e $I$ l’ideale generato da $15$.
Infatti, mi chiedo cosa intendi con “che $u$ e $v$ non abbiano divisori comuni”.
Perche’ la condizione $(u,v)=1$ non e’ piu’ debole, ma piu’ forte di $(I,u,v)=1$.
Prendi un anello di polinomi. Allora la coprimalita è strettamente piu forte della proprietà di non avere divisori comuni
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