Da $QQ$ a $ZZ$

[ProPatria]

Ciao a tutti, il problema è il seguente:
Si determinino tutti gli omomorfismi del gruppo additivo $(QQ,+)$ in $(ZZ,+)$.
Q non è ciclico dunque non posso determinarli con le immagini dei generatori.
Come procedere?

[solaàl]

Sia f un tale omomorfismo, e sia esso diverso da zero. Assurdo.

[ProPatria]

Ci provo:
Siano $f(1)=n, f(1/q)=m$
Con q intero qualsiasi. Allora ho che:
$f(p/q)=p*m$
Per la linearità. Allora:
$n+m=f(1)+f(1/q)=f((1+q)/q)=m(1+q)$
E l'assurdo segue dall'arbitrarietà di q
È giusto?

[j18eos]

Sì;

oppure, sia \(\displaystyle f(1)=a\), allora:
\[
\forall m\in\mathbb{N}_{\geq1},\,mf\left(\frac{1}{m}\right)=f\left(\frac{m}{m}\right)=f(1)=a\\
f\left(\frac{1}{m}\right)=\frac{a}{m}
\]
e poiché ciò deve valere per ogni \(\displaystyle m\), si ottiene che \(\displaystyle a=0\). Sempre per linearità, si ottiene che \(\displaystyle f\) dev'essere l'omomorfismo nullo.

[Studente Anonimo]

"ProPatria":È giusto?

No non è giusto, perché $m$ dipende da $q$.

[ProPatria]

Ho capito. Grazie mille a entrambi