Curiosità - variabili quantificate - costanti
Salve a tutti,
non ho studiato la materia "logica" però sò i concetti basilari che mi permettono di comprendere alcune def. ed discorsi sulla matematica...
Veniamo al dunque, il nostro docente di analisi matematica 2 sostiene che nella quantificazioni tutte le varibili vanno quantificate, per lui è una formalità importante. Fin lì tutto bene, ma pensando tra me e me notai che mi capitò un caso di quantificazione non del tipo come la vuole il docente, ovvero la seguente:
$AAx in A(EEz in A(xfz=zfx=e))$
questa quantificazione esprime che esiste l'elemento simmetrico, ora guardandola a me sembra che $x$ e $z$ sono quantificati ma non $e$, eppure ci sono una enorme quantità di testi che fanno lo stesso. E' una imprecisazione di molti testi o del mio docente? Se no, perchè? Se si, perchè?
Ringrazio tutti anticipatamente!
Cordiali saluti
non ho studiato la materia "logica" però sò i concetti basilari che mi permettono di comprendere alcune def. ed discorsi sulla matematica...
Veniamo al dunque, il nostro docente di analisi matematica 2 sostiene che nella quantificazioni tutte le varibili vanno quantificate, per lui è una formalità importante. Fin lì tutto bene, ma pensando tra me e me notai che mi capitò un caso di quantificazione non del tipo come la vuole il docente, ovvero la seguente:
$AAx in A(EEz in A(xfz=zfx=e))$
questa quantificazione esprime che esiste l'elemento simmetrico, ora guardandola a me sembra che $x$ e $z$ sono quantificati ma non $e$, eppure ci sono una enorme quantità di testi che fanno lo stesso. E' una imprecisazione di molti testi o del mio docente? Se no, perchè? Se si, perchè?
Ringrazio tutti anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
Per poterti rispondere con precisione dovresti specificare qual'è il "linguaggio" (cioè l'alfabeto, i simboli di funzione, i predicati, le costanti etc etc... ) a cui fa riferimento la formula che hai scritto. Tuttavia molto verosimilmente ti stai riferendo al linguaggio dei gruppi (o a quello dei campi o a qualche altra stuttura algebrica...). Quindi ti rispondo lo stesso: il simbolo $e$ non è una variabile ma una costante! Ecco tutto. 
Salve perplesso,
sono come te, ovvero perplesso, non capisco come possa essere una costante, scusami per la mia ignoranza in materia ma saresti così gentile da fornirmi una delucidazione in merito, magari differenziando il concetto di costante ed il concetto di variabile..
Ti ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=Perdonami per la domanda soprattutto se insensata, ma quando una variabile diventa una costante???...
sono come te, ovvero perplesso, non capisco come possa essere una costante, scusami per la mia ignoranza in materia ma saresti così gentile da fornirmi una delucidazione in merito, magari differenziando il concetto di costante ed il concetto di variabile..
Ti ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=Perdonami per la domanda soprattutto se insensata, ma quando una variabile diventa una costante???...
"garnak.olegovitc":
saresti così gentile da fornirmi una delucidazione in merito, magari differenziando il concetto di costante ed il concetto di variabile..
Mi fai una domanda abbastanza complessa alla quale non credo di avere abbastanza competenza per risponderti in maniera esauriente e precisa. Però posso cercare (nei limiti delle mie possibilità) di farti entrare nell'ottica della logica matematica.
Nella logica matematica un linguaggio è costituito da un insieme di simboli e da alcune regole che ti dicono come utilizzare quei simboli per costruire formule "ben formate" (cioè tali che sia possibile analizzarle con procedimento algoritmico ed eventualmente interpretarle). Ad esempio la formula $\forall x \rightarrow \exists \subset e$ non è ben formata, un computer analizzandola restituirebbe un errore. I simboli del linguaggio sono di vario tipo:
Simboli proposizionali
Variabili
Costanti
Simboli di funzione
Predicati
Connettivi
Quantificatori
Facciamo un esempio pratico. Il linguaggio dei campi ordinati potrebbe formalizzarsi così
Variabili: $x,y,z ...$
Costanti: $\bar 0, \bar 1$
Simboli di funzione: $+,*, i$
Predicati: $L, =$
Connettivi: $\wedge, \vee, \neg, \rightarrow$
Quantificatori: $\forall, \exists$
Una formula ben formata in questo linguaggio è per esempio $\forall x \forall y (L(x,i(y)) \rightarrow L(+(x, z),+(i(y), \bar 1)))$
Intuitivamente $\bar 0$ e $\bar 1$ rappresentano gli elementi neutri ripetto all'addizione e alla moltiplicazione, $+$ e $*$ rappresentano operazioni binarie, $i$ sta per l'operazione unaria di inversione, $L$ per la relazione binaria "minore o uguale". Tuttavia queste identificazioni che facciamo rimangono solo sul piano intuitivo, perchè per il momento stiamo considerando solo l'aspetto "sintattico" (abbiamo dei simboli ma non abbiamo informazioni sul loro "significato" che potrebbe anche non interessarci...). In tutto questo le variabili giocano il ruolo di "segnaposto", servono cioè per indicare un elemento generico dell'universo. Le costanti invece puoi pensarle come delle etichette che indicano un elemento ben preciso del nostro universo. Per capire cos'è una costante pensa a un numero reale per esempio 3,52 . Ti sembra sensato dire "per ogni 3,52" ?? Ecco, lo stesso vale per le costanti: quantificarle non ha molto senso visto che "non variano". Passiamo quindi al piano semantico ovvero cerchiamo di rispondere alla domanda: come possiamo assegnare un valore di verità alla formula che abbiamo scritto prima? Innanzitutto ci serve una struttura "reale" che aderisca al nostro linguaggio. Per esempio possiamo scegliere $(QQ,<=,+,*,^{-1},0,1)$ cioè il campo ordinato dei numeri razionali. Il nostro universo sarà quindi $QQ$. Il predicato $L$ sarà $<=$, il predicato $i$ sarà identificato con l'inversione $ ^-1 $ e le costanti $\bar 0$ e $\bar 1$ saranno associate rispettivamente agli elementi $0$ e $1$ $\in QQ $. Affinchè una formula diventi interpretabile è necessario rimpiazzare tutte le variabili "libere" (cioè non quantificate) con dei "veri" elementi del nostro universo. Per esempio se sostituiamo $z$ con $-1$ la formula diventa
$\forall x \forall y (x<=y^{-1} \rightarrow x+ (-1) <= y^{-1}+1 )$
che è evidentemente vera. Per altri valori di $z$ la formula avrebbe potuto essere falsa. Avremmo anche potuto scegliere una struttura diversa per esempio $(ZZ_2, <= ,+,*,^{-1},0,1)$ e fare una sostituzione diversa, per esempio mettere $0$ al posto di $z$. In questo caso la fomula risultante
$\forall x \forall y (x<=y^{-1} \rightarrow x+ 0 <= y^{-1}+1 )$
è falsa (per $x=y=1$ non funziona). Insomma quello che volevo farti vedere è che interpretazioni diverse dello stesso linguaggio possono rendere la stessa formula vera oppure falsa. In colcusione ribadisco che tutte queste cose se veramente ti interessano le puoi trovare (spiegate molto ma molto meglio di come te le posso spiegare io) in uno dei tantissimi testi di "Logica matematica" che ci sono in circolazione. Buon studio!
Salve perplesso,
molto interessante, quindi la stessa cosa possa dirsi per i simboli $s$$up_R(B)$ ed $i$$nf_R(B)$, ovvero sono costanti..??
Perdonami se la domanda è stupida!
Cordiali saluti
molto interessante, quindi la stessa cosa possa dirsi per i simboli $s$$up_R(B)$ ed $i$$nf_R(B)$, ovvero sono costanti..??
Perdonami se la domanda è stupida!
Cordiali saluti
Non credo ci sia un modo univoco di guardare a quelle scritture. Per esempio potrei pensare a $s up$ come a una funzione nell'insieme delle parti di $RR$ così $s up: X \in P(RR) \rightarrow {min{a \in RR | \forall x \in X (x <=a)}} \in P(RR)$. Bisognerebbe contestualizzare... ma devi tener presente che la proprietà dell'estremo superiore è del secondo ordine, quindi avremmo a che fare con una logica del secondo ordine dove le cose diventano parecchio più complicatucce e io non ne so abbastanza per parlarne con cognizione di causa.... perciò passo la palla ad altri più esperti! 
Salve perplesso,
supponiamo che non abbia mai fatto la domanda precedente... perchè nella seguente quantificazione quello che sembra essere l'elemento neutro viene quantificato visto che abbiamo detto che esso è una costante:
$AAx in A(EEz in A(xfz=zfx=x))$
????
Cordiali saluti
"perplesso":
Non credo ci sia un modo univoco di guardare a quelle scritture. Per esempio potrei pensare a $s up$ come a una funzione nell'insieme delle parti di $RR$ così $s up: X \in P(RR) \rightarrow {min{a \in RR | \forall x \in X (x <=a)}} \in P(RR)$. Bisognerebbe contestualizzare... ma devi tener presente che la proprietà dell'estremo superiore è del secondo ordine, quindi avremmo a che fare con una logica del secondo ordine dove le cose diventano parecchio più complicatucce e io non ne so abbastanza per parlarne con cognizione di causa.... perciò passo la palla ad altri più esperti!
supponiamo che non abbia mai fatto la domanda precedente... perchè nella seguente quantificazione quello che sembra essere l'elemento neutro viene quantificato visto che abbiamo detto che esso è una costante:
$AAx in A(EEz in A(xfz=zfx=x))$
????
Cordiali saluti
Hai quantificato la variabile $z$, non hai quantificato la costante $e$. Se avessi scritto $\exists e $ sarebbe stato una altro paio di maniche...
P.S. Ti faccio anche notare che senza avere informazioni sulla struttura in cui stai lavorando potrebbe verosimilmente esistere anche più di un elemento $z$ che soddisfa quella relazione.
P.S. Ti faccio anche notare che senza avere informazioni sulla struttura in cui stai lavorando potrebbe verosimilmente esistere anche più di un elemento $z$ che soddisfa quella relazione.
Salve perplesso,
che vuoi dire?? Ho molti testi/appunti che lo fanno.
Ti ringrazio di tutto!
Cordiali saluti
"perplesso":
Se avessi scritto $\exists e $ sarebbe stato una altro paio di maniche...
che vuoi dire?? Ho molti testi/appunti che lo fanno.
Ti ringrazio di tutto!
Cordiali saluti
Vuol dire che se tu decidi che nel tuo linguaggio $e$ è una costante allora non ha senso quantificarla, se decidi che è una variabile allora quantificala pure... una variabile (o una costante ) non è tale solo perchè la denoti con una certa lettera dell'alfabeto, avrei anche potuto chiamare una costante "pippo" senza problemi...
Salve perplesso,
non hai idea allora di quanti docenti e conoscenze, anche presso la facoltà di matematica, scrivono in quel modo... buono a sapersi ....
Un ultima cosetta, se io utilizzo la costante e ed i per denotare l'elemento neutro ed il simmetrico rispetto ad una legge di composizione $f$, ed $x,y,z$ per le variabili è possibile scrivere $x=$ e oppure $y=$i...
??? Io penso di sì.. anche se devo, giustamente penso, provare prima l'unicità di $x$ o di $y$.. ....giusto??..??...
Cordiali saluti
"perplesso":
Vuol dire che se tu decidi che nel tuo linguaggio $e$ è una costante allora non ha senso quantificarla, se decidi che è una variabile allora quantificala pure... una variabile (o una costante ) non è tale solo perchè la denoti con una certa lettera dell'alfabeto, avrei anche potuto chiamare una costante "pippo" senza problemi...
non hai idea allora di quanti docenti e conoscenze, anche presso la facoltà di matematica, scrivono in quel modo... buono a sapersi
.... Un ultima cosetta, se io utilizzo la costante e ed i per denotare l'elemento neutro ed il simmetrico rispetto ad una legge di composizione $f$, ed $x,y,z$ per le variabili è possibile scrivere $x=$ e oppure $y=$i...
??? Io penso di sì.. anche se devo, giustamente penso, provare prima l'unicità di $x$ o di $y$.. ....giusto??..??... Cordiali saluti
up
"garnak.olegovitc":
Salve perplesso,
[quote="perplesso"]Vuol dire che se tu decidi che nel tuo linguaggio $e$ è una costante allora non ha senso quantificarla, se decidi che è una variabile allora quantificala pure... una variabile (o una costante ) non è tale solo perchè la denoti con una certa lettera dell'alfabeto, avrei anche potuto chiamare una costante "pippo" senza problemi...
non hai idea allora di quanti docenti e conoscenze, anche presso la facoltà di matematica, scrivono in quel modo... buono a sapersi
.... Un ultima cosetta, se io utilizzo la costante e ed i per denotare l'elemento neutro ed il simmetrico rispetto ad una legge di composizione $f$, ed $x,y,z$ per le variabili è possibile scrivere $x=$ e oppure $y=$i...
??? Io penso di sì.. anche se devo, giustamente penso, provare prima l'unicità di $x$ o di $y$.. ....giusto??..??... Cordiali saluti[/quote]
up
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