Curiosità su $\zeta(2)$
Salve a tutti, spero di non aver sbagliato sezione. 
La questione che vi pongo è legata, in generale, alle serie del tipo $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i}{b_i} = r \in RR\\QQ$ con $a_i, b_i \in NN, AA i \in NN$.
Ho preso l'esempio di $\zeta(2)$ per semplicità ($\zeta(*)$ è la funzione zeta di Riemann per intenderci).
Sappiamo più o meno tutti che $\zeta(2) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \in RR\\QQ$
Però è anche vero che $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} = S_n = \frac{a_n}{b_n}$ dove:
$b_n = \lcm (1^2,2^2,...,n^2) \in NN, AA n \in NN$
$a_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{\lcm(1^2,...,n^2)}{i^2} = \sum_{i=1}^{n} q_i \in NN, AA n \in NN$ (essendo $i^2 | \lcm(1^2,...,n^2), AA i \in 1 -: n$, mentre $q_i$ è il quoziente che esce dalla divisione fra mcm e singolo $i^2$ ovviamente)
e quindi $S_n = \frac{a_n}{b_n} \in QQ, AA n \in NN$
Siccome questa cosa è vera per ogni numero naturale $n$, come mai $S_n$ per $n \to \infty$ è un numero irrazionale anziché razionale? La cosa che contribuisce ad alimentare questo mio dubbio è che, a rigor di logica, $a_n$ e $b_n$ "smettessero" di essere numeri interi quando $n \to \infty$ mentre per valori finiti di $n$ "rimangono" numeri interi.
La questione che vi pongo è legata, in generale, alle serie del tipo $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i}{b_i} = r \in RR\\QQ$ con $a_i, b_i \in NN, AA i \in NN$.
Ho preso l'esempio di $\zeta(2)$ per semplicità ($\zeta(*)$ è la funzione zeta di Riemann per intenderci).
Sappiamo più o meno tutti che $\zeta(2) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \in RR\\QQ$
Però è anche vero che $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} = S_n = \frac{a_n}{b_n}$ dove:
$b_n = \lcm (1^2,2^2,...,n^2) \in NN, AA n \in NN$
$a_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{\lcm(1^2,...,n^2)}{i^2} = \sum_{i=1}^{n} q_i \in NN, AA n \in NN$ (essendo $i^2 | \lcm(1^2,...,n^2), AA i \in 1 -: n$, mentre $q_i$ è il quoziente che esce dalla divisione fra mcm e singolo $i^2$ ovviamente)
e quindi $S_n = \frac{a_n}{b_n} \in QQ, AA n \in NN$
Siccome questa cosa è vera per ogni numero naturale $n$, come mai $S_n$ per $n \to \infty$ è un numero irrazionale anziché razionale? La cosa che contribuisce ad alimentare questo mio dubbio è che, a rigor di logica, $a_n$ e $b_n$ "smettessero" di essere numeri interi quando $n \to \infty$ mentre per valori finiti di $n$ "rimangono" numeri interi.
Risposte
Se ho capito bene ti risulta strano che una successione di numeri razionali possa convergere a un numero irrazionale. Cosa c'è di strano? Puoi costruire un sacco di successioni di razionali convergenti a un irrazionale, usando il fatto che [tex]\mathbb{Q}[/tex] è denso in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo