Curiosità su una dimostrazione
su un libro ho una dimostrazione per induzione delle due seguenti proprietà (riporto, di seguito, tra virgolette, le testuali parole del libro)
proprietà 1) "la somma dei primi $n$ interi positivi vale $frac{n(n+1)}{2}$ ove $n$ è un qualunque numero naturale, ovvero: $1+2+3+...+n=frac{n(n+1)}{2}$"
nella dimostrazione per induzione il passo base è dimostrare che la proprietà è vera per $n=0$
proprietà 2) "dato un reale $q ne 1$ e un qualunque naturale $n$ vale che: $1+q+q^2+...+q^n=frac{1-q^(n+1)}{1-q}$"
e anche quì, nella dimostrazione per induzione il passo base consiste nel dimostrare che la proprietà è vera per $n=0$
adesso, la curiosità che mi viene è questa: non è una forzatura partire da $n=0$?
voglio dire: se nella prima proprietà parto da $n=0$ significa che prendo i primi $0$ interi positivi, cioè non li prendo proprio e se non ho nessun numero come faccio a costruire una somma; similmente se prendo $n=1$ significa che faccio la somma di $1$ con nulla, quindi come faccio a dire che ho fatto una somma dal momento che servono almeno due termini per fare una somma; non sarebbe più corretto partire da $n=2$?
similmente, nella proprietà 2) non sarebbe più corretto partire da $n=1$ dal momento che per $n=1$ si hanno le potenze $q^0=1$ e $q^1=q$?
proprietà 1) "la somma dei primi $n$ interi positivi vale $frac{n(n+1)}{2}$ ove $n$ è un qualunque numero naturale, ovvero: $1+2+3+...+n=frac{n(n+1)}{2}$"
nella dimostrazione per induzione il passo base è dimostrare che la proprietà è vera per $n=0$
proprietà 2) "dato un reale $q ne 1$ e un qualunque naturale $n$ vale che: $1+q+q^2+...+q^n=frac{1-q^(n+1)}{1-q}$"
e anche quì, nella dimostrazione per induzione il passo base consiste nel dimostrare che la proprietà è vera per $n=0$
adesso, la curiosità che mi viene è questa: non è una forzatura partire da $n=0$?
voglio dire: se nella prima proprietà parto da $n=0$ significa che prendo i primi $0$ interi positivi, cioè non li prendo proprio e se non ho nessun numero come faccio a costruire una somma; similmente se prendo $n=1$ significa che faccio la somma di $1$ con nulla, quindi come faccio a dire che ho fatto una somma dal momento che servono almeno due termini per fare una somma; non sarebbe più corretto partire da $n=2$?
similmente, nella proprietà 2) non sarebbe più corretto partire da $n=1$ dal momento che per $n=1$ si hanno le potenze $q^0=1$ e $q^1=q$?
Risposte
Secondo me non ci sono forzature nel dire che la somma di zero numeri fa zero e la somma di un numero coincide con quel numero. All fin fine, moltiplicando un numero per zero si ottiene zero, moltiplicando un numero per uno si ottiene sempre quel numero.
Non vedo il problema.
La dimostrazione per induzione ha una sua logica ferrea, che è quella che ti è stata descritta nell'altro post da Fioravante.
Queste sottigliezze non devon preoccuparci.
L'induzione, specialmente all'inizio, ogni tanto solleva questi dubbi, almeno a me è capitato.
La dimostrazione per induzione ha una sua logica ferrea, che è quella che ti è stata descritta nell'altro post da Fioravante.
Queste sottigliezze non devon preoccuparci.
L'induzione, specialmente all'inizio, ogni tanto solleva questi dubbi, almeno a me è capitato.
proprio perchè fioravante ha descritto come ha descritto l'induzione che mi è sorto sto dubbio...
io sapevo che l'induzione aveva come passo base il provare la validità della proposizione per $n=0$, ma se fioravante ha detto che si può partire da un intero $k$ (e ci credo, non contesto
), allora mi è partita sta curiosità: non srebbe meglio partire da un $n ne 0$...
molto probabilmente sono io che non afferro ma dato che la somma è una operazione su due termini, se non ce li ho non viene meno l'idea stessa della somma...a meno che non ci sia da qualche parte una definizione di somma con meno di due termini...
io sapevo che l'induzione aveva come passo base il provare la validità della proposizione per $n=0$, ma se fioravante ha detto che si può partire da un intero $k$ (e ci credo, non contesto
), allora mi è partita sta curiosità: non srebbe meglio partire da un $n ne 0$...molto probabilmente sono io che non afferro ma dato che la somma è una operazione su due termini, se non ce li ho non viene meno l'idea stessa della somma...a meno che non ci sia da qualche parte una definizione di somma con meno di due termini...
Se ti fa sentire meglio puoi benissimo partire da $n=2$ nel caso della somma. Avrai dimostrato il risultato per $n \ge 2$, che è quello che ti interessa.
Non credo che si stia parlando di comprensione. Il fatto è che non c'è un n giusto da cui partire: l'n da cui partire lo decidi tu. Sei tu che domini la matematica, non viceversa.
molto probabilmente sono io che non afferro
Non credo che si stia parlando di comprensione. Il fatto è che non c'è un n giusto da cui partire: l'n da cui partire lo decidi tu. Sei tu che domini la matematica, non viceversa.
puoi partire da dove vuoi: se prendi $n=5$ la proprietà che dimostrerai varrà per ogni $n>=5$
appunto, 5 è la tua base induttiva: su di lei costruisci quello che vuoi
Se sei in un anello (e $ZZ$ lo è) per forza per ogni $n in ZZ$ e quindi per ogni $n in NN$ $n*0=0$
Analogamente $n*1=n$
appunto, 5 è la tua base induttiva: su di lei costruisci quello che vuoi
Se sei in un anello (e $ZZ$ lo è) per forza per ogni $n in ZZ$ e quindi per ogni $n in NN$ $n*0=0$
Analogamente $n*1=n$
"+Steven+":
L'induzione, specialmente all'inizio, ogni tanto solleva questi dubbi, almeno a me è capitato.
e non sei l'unico!
"WiZaRd":
io sapevo che l'induzione aveva come passo base il provare la validità della proposizione per $n=0$
ovviamente è una versione riduttiva
"WiZaRd":
e ci credo, non contesto
e ci mancherebbe!
"WiZaRd":
molto probabilmente sono io che non afferro ma dato che la somma è una operazione su due termini, se non ce li ho non viene meno l'idea stessa della somma...a meno che non ci sia da qualche parte una definizione di somma con meno di due termini...
Ad esempio: $\sum_{n \in \emptyset} n = 0$
"Martino":
Il fatto è che non c'è un n giusto da cui partire: l'n da cui partire lo decidi tu. Sei tu che domini la matematica, non viceversa.
giusto! sii "macho"!
ciao a tutti
vaa bien....
grazie a tutti per la pazienza
grazie a tutti per la pazienza
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