(Curiosità) Domanda su $sqrt(2)$ e semplificazione

[Andrea571]

Non sapevo in che sezione scrivere, se ho sbagliato perdonatemi

Una curiosità: ho questa formula per calcolare $sqrt(2)$ e volevo sapere se era possibile semplificarla ancora di più:

$sqrt(2)=((\sum_{k=0}^(\infty) ((1/2),(k))*3^(-2k+1)))/((\sum_{k=0}^(\infty) ((1/2),(k))*2^(-2k+1)))$

(Testata e valida)

Non rimandatemi a formule già conosciute per il suo calcolo, voglio solo sapere se questa formula è semplificabile ulteriormente, oppure se esiste già una formula del genere e questa è semplicemente un suo "surrogato", grazie

[Andrea571]

"TeM":La forma più generale del teorema binomiale è espressa della seguente identità
\[
(x + y)^r = \sum_{k = 0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k y^{r - k} \,, \; \; \;
\begin{aligned} & per \; interi \; r \ge 0 \\ & oppure \; per \; |x/y|<1 \, . \end{aligned}
\] Su tale formula (generalizzata) trovi un bel po' in questo libro a pagina 162 (175 del libro online).

Bene, ponendo \(x = y = 1\) ed \(r = \frac{1}{2}\) si ottiene \[ \sqrt{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} \] che credo sia il modo più sintetico per esprimere \(\sqrt{2}\) tramite serie numerica.

In effetti

Ti ringrazio, avevo pensato anche io a quella formula, ma devo aver fatto male qualche calcolo che mi dava un valore diverso da $sqrt(2)$

[gugo82]

"Andrea57":$sqrt(2)=((\sum_{k=0}^(\infty) ((1/2),(k))*3^(-2k+1)))/((\sum_{k=0}^(\infty) ((1/2),(k))*2^(-2k+1)))$

(Testata e valida)

Che vuol dire "testata e valida"?
Una formula o è dimostrata o non è nulla... Una dimostrazione dov'è?


Suggerimento: parti dall'uguaglianza \(\sqrt{10} = \sqrt{2}\ \sqrt{5}\).