Criterio di normalita' per sottogruppi (dimostrazione)
Salve a tutti,
devo dimostrare questo lemma:
Criterio di normalita'
Sia $ H sube G $ sottogruppo, allora sono equivalenti:
i) $H$ normale in $G$
ii) $ AA g in G, AA h in H => ghg^{-1} in H$
Allora, per dimostrare l'equivalenza procedo con le due implicazioni.
i) implica ii)
So dalla definizione di normalita' che
dato $g in G$ le classi laterali destre sono uguali a quelle sinistre, ossia $gH = Hg$ o equivalentemente $gh = hg, AA h in H$
Da qui io concluderei semplicemente che da $ gh = hg $ io possa moltiplicare per l'inverso di g a destra di entrambi i membri ottenendo $ ghg^{-1} = h in H$
Ma non riesco a capire se e' sufficiente.
ii) implica i)
Devo dimostrare che $ gH = Hg$
Procedo per doppia inclusione: $ gH sube Hg $
Prendo un elemento $ gh in gH $ allora
$ gh = gh*g^{-1}g = ghg^{-1}*g in Hg $
$ Hg sube gH $ e' analogo.
E' corretto?
devo dimostrare questo lemma:
Criterio di normalita'
Sia $ H sube G $ sottogruppo, allora sono equivalenti:
i) $H$ normale in $G$
ii) $ AA g in G, AA h in H => ghg^{-1} in H$
Allora, per dimostrare l'equivalenza procedo con le due implicazioni.
i) implica ii)
So dalla definizione di normalita' che
dato $g in G$ le classi laterali destre sono uguali a quelle sinistre, ossia $gH = Hg$ o equivalentemente $gh = hg, AA h in H$
Da qui io concluderei semplicemente che da $ gh = hg $ io possa moltiplicare per l'inverso di g a destra di entrambi i membri ottenendo $ ghg^{-1} = h in H$
Ma non riesco a capire se e' sufficiente.
ii) implica i)
Devo dimostrare che $ gH = Hg$
Procedo per doppia inclusione: $ gH sube Hg $
Prendo un elemento $ gh in gH $ allora
$ gh = gh*g^{-1}g = ghg^{-1}*g in Hg $
$ Hg sube gH $ e' analogo.
E' corretto?
Risposte
A me sembra 
!
!
Personalmente, non mi piace questa cosa:
Sì, è vero che dalla normalità discende l'uguaglianza dei laterali, ma tale uguaglianza è da intendersi in senso insiemistico, non puntuale.
Quanto scrivi non è vero: il modo corretto di dirlo è questo. $gH=Hg$ significa che preso $h_1 in H$ e considerato l'elemento $gh_{1} in gH$ allora esiste un elemento $h_2$ (in generale, distinto da $h_1$!) tale che [tex]Hg \ni h_{2}g=g h_{1}[/tex].
Hai capito quello che voglio dire? E' ovvio che, ad esempio, in un gruppo abeliano vale quello che hai scritto tu; ma in generale la tua condizione è forte, troppo forte rispetto alla nozione di "normalità".
"Soloandre":
So dalla definizione di normalita' che dato $g in G$ le classi laterali destre sono uguali a quelle sinistre, ossia $gH = Hg$ o equivalentemente $gh = hg, AA h in H$.
Sì, è vero che dalla normalità discende l'uguaglianza dei laterali, ma tale uguaglianza è da intendersi in senso insiemistico, non puntuale.
Quanto scrivi non è vero: il modo corretto di dirlo è questo. $gH=Hg$ significa che preso $h_1 in H$ e considerato l'elemento $gh_{1} in gH$ allora esiste un elemento $h_2$ (in generale, distinto da $h_1$!) tale che [tex]Hg \ni h_{2}g=g h_{1}[/tex].
Hai capito quello che voglio dire? E' ovvio che, ad esempio, in un gruppo abeliano vale quello che hai scritto tu; ma in generale la tua condizione è forte, troppo forte rispetto alla nozione di "normalità".
Ah ok! Penso fosse questo che "a sensazione" non tornasse nemmeno a me.
Quindi per dimostrare
i) implica ii)
So che per $g in G$ si ha $gH = Hg$ (a livello insiemistico). Dunque esistono $h_1, h_2 in H $ per cui $gh_1 = h_2g$.
Da qui ottengo, moltiplicando a sinistra entrambi i membri per $g^{-1}$ che $gh_1g^{-1} = h_2$ e siccome $h_2 in H$ allora $gh_1g^{-1} in H$
Ora, io l'ho fatto per $h_1$ fissato, ma posso riformulare dicendo che $AA g in G$ (e qui ottengo la classe laterale $gH$), $AA h in H$ (ora ho preso un qualsiasi elemento $gh in gH$), $EE h_2 in H$ tale che (operando di volta in volta come sopra) $ghg^{-1} = h_2$ e quindi $ghg^{-1} in H$.
Ora va meglio?
Grazie Paolo per la disponibilità!
ps: chiedo scusa per la risposta tardiva ma mi sono accorto solo ora di non avere abilitato le notifiche via mail.
Quindi per dimostrare
i) implica ii)
So che per $g in G$ si ha $gH = Hg$ (a livello insiemistico). Dunque esistono $h_1, h_2 in H $ per cui $gh_1 = h_2g$.
Da qui ottengo, moltiplicando a sinistra entrambi i membri per $g^{-1}$ che $gh_1g^{-1} = h_2$ e siccome $h_2 in H$ allora $gh_1g^{-1} in H$
Ora, io l'ho fatto per $h_1$ fissato, ma posso riformulare dicendo che $AA g in G$ (e qui ottengo la classe laterale $gH$), $AA h in H$ (ora ho preso un qualsiasi elemento $gh in gH$), $EE h_2 in H$ tale che (operando di volta in volta come sopra) $ghg^{-1} = h_2$ e quindi $ghg^{-1} in H$.
Ora va meglio?
Grazie Paolo per la disponibilità!
ps: chiedo scusa per la risposta tardiva ma mi sono accorto solo ora di non avere abilitato le notifiche via mail.
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