Criterio della derivata

[nick_10]

Salve! Cercavo una dimostrazione del criterio della derivata. Purtroppo non sono riuscito a trovarla da nessuna parte.
L'enunciato è piu o meno questo: "Sia $f(x) in RR[x] (o QQ[x])$ con $f(x)=\prod_{i=1}^k (f_i)^(a_i)$ una decomposizione in irriducibili distinti. Si ha che $(f,f')=\prod_{i=1}^k (f)^(a_i-1)$ e $f/(f,f')=\prod_{i=1}^k f_i$

[spugna2]

Ponendo $g=\prod_{i=1}^k f_i^(a_i-1) $, dire che $(f,f')=g $ è come dire che $(f/g, (f')/g)=1$, ma si ha:

- $\text{ } f/g=prod_(i=1)^k f_i$

- $\text{ } f'=sum_(i=1)^k (a_i f_i^(a_i-1) f_i' prod_(j ne i) f_j^(a_j)) $, da cui $(f')/g=sum_(i=1)^k (a_i f_i' prod_(j ne i) f_j) $.

Questi due polinomi sono coprimi se e solo se nessuno dei fattori irriducibili di $f/g $ (che sono gli $f_i$) divide $(f')/g $, ma per ogni $i $ fissato si ha che $f_i $ divide tutti i termini della sommatoria tranne $a_i f_i' prod_(j ne i) f_j $.

[nick_10]

Grazie!