Criteri per determinare il polinomio minimo.
Salve, ho questo problema: Determinare il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di $\root3(10)+\sqrt(7)$. L'algoritmo per trovare un polinomio $f(x)\in\QQ[x]:f(\root3{10}+\sqrt(7))=0$ è piuttosto intuitivo.
$x=\root3{10}+\sqrt(7)\iff\ x-\sqrt(7)=\root3{10} \Rightarrow (x-\sqrt(7))^3=10\iff x^3-3\sqrt(7)x^2+21x-7\sqrt(7)=10$
$x^3+21x-10=3\sqrt(7)x^2+7\sqrt(7)\Rightarrow (x^3+21x-10)^2-7(3x^2+7)^2=0$
Perciò il polinomio
$f(x)=(x^3+21x-10)^2-7(3x^2+7)^2=$
$=(x^6+441x^2+100+42x^4-20x^3-420x)-(63x^4+294x^2+343)=$
$=x^6-21x^4-20x^3+147x^2-420x-243$
è un polinomio che si annulla dove volevamo. Però in realtà non si può concludere che effettivamente esso è il polinomio minimo, bisogna provare che è irriducibile (Eisenstein non si può applicare) oppure che polinomi di grado minore di 6 non possono annullarsi in $\root3(10)+\sqrt(7)$.
Una possibile semplificazione potrebbe essere ricordare il fatto che il grado del polinomio minimo è uguale al grado dell'estensione. Poiché $[QQ(\root3(10)+\sqrt(7)):QQ]|[Q(\root3(10),\sqrt(7)):QQ]=6$, gli unici altri possibili valori per il grado del polinomio minimo possono essere $2$ o $3$, perciò bisognerebbe verificare che nessun polinomio in $QQ[x]$ di grado 2 o 3 può annullarsi in $\root3(10)+\sqrt(7)$, il che richiede comunque lunghi calcoli, oppure far vedere che nessun polinomio di grado 2 o 3 divide il polinomio $f(x)$ trovato. Ci sono molti possibili modi, ma nessuno di questi è cosi geniale da permettermi di concludere con pochi passaggi.
$x=\root3{10}+\sqrt(7)\iff\ x-\sqrt(7)=\root3{10} \Rightarrow (x-\sqrt(7))^3=10\iff x^3-3\sqrt(7)x^2+21x-7\sqrt(7)=10$
$x^3+21x-10=3\sqrt(7)x^2+7\sqrt(7)\Rightarrow (x^3+21x-10)^2-7(3x^2+7)^2=0$
Perciò il polinomio
$f(x)=(x^3+21x-10)^2-7(3x^2+7)^2=$
$=(x^6+441x^2+100+42x^4-20x^3-420x)-(63x^4+294x^2+343)=$
$=x^6-21x^4-20x^3+147x^2-420x-243$
è un polinomio che si annulla dove volevamo. Però in realtà non si può concludere che effettivamente esso è il polinomio minimo, bisogna provare che è irriducibile (Eisenstein non si può applicare) oppure che polinomi di grado minore di 6 non possono annullarsi in $\root3(10)+\sqrt(7)$.
Una possibile semplificazione potrebbe essere ricordare il fatto che il grado del polinomio minimo è uguale al grado dell'estensione. Poiché $[QQ(\root3(10)+\sqrt(7)):QQ]|[Q(\root3(10),\sqrt(7)):QQ]=6$, gli unici altri possibili valori per il grado del polinomio minimo possono essere $2$ o $3$, perciò bisognerebbe verificare che nessun polinomio in $QQ[x]$ di grado 2 o 3 può annullarsi in $\root3(10)+\sqrt(7)$, il che richiede comunque lunghi calcoli, oppure far vedere che nessun polinomio di grado 2 o 3 divide il polinomio $f(x)$ trovato. Ci sono molti possibili modi, ma nessuno di questi è cosi geniale da permettermi di concludere con pochi passaggi.
Risposte
Sia $\alpha :=\root3(10)+\sqrt(7)$. Allora $\alpha^3=10+3\alpha \sqrt(7)(\alpha-\sqrt(7))+7\sqrt(7)$, da cui con semplici passaggi algebrici si ha $\sqrt(7)=\frac{\alpha^3+21\alpha-10}{3\alpha^2+7}$.
Pertanto $\sqrt(7)\in\mathbb{Q}(\alpha)$ e di conseguenza $\root3(10)\in\mathbb{Q}(\alpha)$. Allora, poiché banalmente $\mathbb{Q}(\alpha)\subset \mathbb{Q}(\root3(10), \sqrt(7))$, abbiamo $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\root3(10), \sqrt(7))$.
In conclusione $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\root3(10), \sqrt(7)):\mathbb{Q}]=6$.
Pertanto $\sqrt(7)\in\mathbb{Q}(\alpha)$ e di conseguenza $\root3(10)\in\mathbb{Q}(\alpha)$. Allora, poiché banalmente $\mathbb{Q}(\alpha)\subset \mathbb{Q}(\root3(10), \sqrt(7))$, abbiamo $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\root3(10), \sqrt(7))$.
In conclusione $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\root3(10), \sqrt(7)):\mathbb{Q}]=6$.
Semplicemente geniale 
. Grazie per l'aiuto.
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