Criteri irriducibilità in C[x]
In C[x] esiste qualche criterio di irriducibilità, o tutti i polinomi sono riducibili?
sapete anche darmi qualche esempio di gruppo finito e di gruppo infinito?
grazie
sapete anche darmi qualche esempio di gruppo finito e di gruppo infinito?
grazie
Risposte
Dal teorema fondamentale dell'algebra segue immediatamente che un polinomio in \(\mathbb{C}[x]\) è irriducibile se e soltanto se ha grado \(1\).
Infatti, se \(f\in\mathbb{C}[x]\) ha grado \(1\), allora non è invertibile e certamente non è nullo. Inoltre, se \(f=gh\,\,\exists g,h\in\mathbb{C}[x]\) si deve necessariamente avere (\(\mathbb{C}[x]\) è un dominio) che \(1=\partial(f)=\partial(g)+\partial(h)\iff \partial(g)=0\text{ oppure }\partial(h)=0\) e dunque uno tra \(g\) e \(h\) è invertibile; ne segue che \(f\) è irriducibile.
Viceversa, se \(f\) è un irriducibile, allora non è invertibile ed ha una radice \(\alpha\). Per il teorema di Ruffini, \(\exists\,q\in\mathbb{C}[x]\) tale che \(f=(x-\alpha)q\Rightarrow \partial(q)=0\Rightarrow \partial(f)=1\), dove si è usato che \(q\) deve essere invertibile poiché non lo è \(x-\alpha\) e \(f\) non può essere fattorizzato propriamente.
Infatti, se \(f\in\mathbb{C}[x]\) ha grado \(1\), allora non è invertibile e certamente non è nullo. Inoltre, se \(f=gh\,\,\exists g,h\in\mathbb{C}[x]\) si deve necessariamente avere (\(\mathbb{C}[x]\) è un dominio) che \(1=\partial(f)=\partial(g)+\partial(h)\iff \partial(g)=0\text{ oppure }\partial(h)=0\) e dunque uno tra \(g\) e \(h\) è invertibile; ne segue che \(f\) è irriducibile.
Viceversa, se \(f\) è un irriducibile, allora non è invertibile ed ha una radice \(\alpha\). Per il teorema di Ruffini, \(\exists\,q\in\mathbb{C}[x]\) tale che \(f=(x-\alpha)q\Rightarrow \partial(q)=0\Rightarrow \partial(f)=1\), dove si è usato che \(q\) deve essere invertibile poiché non lo è \(x-\alpha\) e \(f\) non può essere fattorizzato propriamente.
quindi un polinomio in C[x] è riducibile solo nel caso sia di grado >1(per il teorema fondamentale dell'algebra), quindi onestamente dire che si può utilizzare,sempre grazie al lemma di gauss, per es. il criterio di einsestein non sarebbe corretto perchè comunque avrebbe sempre almeno una soluzione.giusto?
per quanto riguarda la seconda domanda sui gruppi?
sapete anche darmi qualche esempio di gruppo finito e di gruppo infinito?
per quanto riguarda la seconda domanda sui gruppi?
sapete anche darmi qualche esempio di gruppo finito e di gruppo infinito?
"gnappo90":
sapete anche darmi qualche esempio di gruppo finito e di gruppo infinito?
Per quanto riguarda un esempio di gruppo finito ti direi [tex]$S_{3}$[/tex] che sarebbe il gruppo delle permutazioni di un insieme di tre elementi con l'operazione di composizione.
Per un gruppo infinito per stare sul sempice [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex] ovvero gli interi con l'operazione di addizione.
E' molto facile il discorso : solo quelli di primo grado sono irriducibili ! 
e mi sapete dare un esempio di gruppo finito??
potrebbe essere $(Z/5,+)$
potrebbe essere $(Z/5,+)$
Come gruppo finito basta considerare le radici n-esime dell'unità
Quello da te citato non credo sia finito !!
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