Criteri di divisibilità

[Licia9]

Ragazzi dovrei trovare il criterio di divisibilità per 8 e ho trovato i resti delle potenze di 10 in modulo 8

10^0 = [1]
10^1=[2]
10^2=[2][2]=[4]
10^3=[4][2]=[8]=[0]
10^4=[4][4]=[16]=[0]
10^5=[2][2]=[4]
10^6=[4][2]=[8]=[0]

ma non riesco a dedurre il criterio di divisibilità.. come devo fare?

[NightKnight1]

"Licia9":
10^5=[2][2]=[4]

E' sbagliato! $10^5 -= 0 (mod 8)$.

In generale $10^k -= 0 (mod 8)$ per ogni $k >= 3$. Questo dice che non contano le cifre delle migliaia, delle decine di migliaia, delle centinaia di migliaia, ...

Quindi sia $n=(a_k a_(k-1) ... a_3 a_2 a_1 a_0) = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + ... + a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10 + a_0$ (gli $a_i$ sono le cifre di $n$).
Allora per le congruenze che hai trovato $n -= 0a_k + 0a_{k-1}+ ... + 0a_3 + 4a_2 + 2a_1 + a_0 -= 4a_2 + 2a_1 + a_0(mod 8)$.
Quindi $n$ è divisibile per $8$ se e solo se le sue ultime tre cifre $a_2,a_1,a_0$ sono tali che $4a_2 + 2 a_1 + a_0$ è divisibile per $8$.

[Licia9]

ah ecco perchè.. grazie mille!

[Licia9]

Ma le ultime cifre non sono quelle che dici tu.. o sbaglio?
Quelle dovrebbero essere le prime..

Poi il criterio di divisibilità per 8 non dovrebbe essere che le ultime 3 cifre sono zeri oppure è divisibile per 8 il numero formato dalle ultime 3 cifre?

[NightKnight1]

"Licia9":Ma le ultime cifre non sono quelle che dici tu.. o sbaglio?
Quelle dovrebbero essere le prime..

Questione di definizioni: io ho chiamato ultime cifre le cifre relative alle potenze di $10$ più piccole, cioè le cifre più a destra.

"Licia9":Poi il criterio di divisibilità per 8 non dovrebbe essere che le ultime 3 cifre sono zeri oppure è divisibile per 8 il numero formato dalle ultime 3 cifre?

Non esiste IL criterio di divisibilità, esistono parecchie formulazioni equivalenti della condizione che un numero sia multiplo di $8$. Ad esempio, se $n$ è un naturale e se $a_2,a_1,a_0$ sono le sue cifre più a destra, allora $n$ è multiplo di $8$ se e solo se $4a_2 + 2a_1 + a_0 -= 0 (mod 8)$ se e solo se $12a_2 + 10a_1 + 9a_0 -= 0 (mod 8)$ se e solo se $100a_2 - 6a_1 + 33a_0 -= 0 (mod 8)$ se e solo se $100a_2 + 10a_1 + a_0 -= 0 (mod 8)$. (L'ultima condizione è quella che dici tu: il numero $100a_2 + 10a_1 + a_0$ è quello che ha per cifre $a_2,a_1,a_0$). Prova per esercizio a dimostrare l'equivalenza delle condizioni sopra (si tratta solo di aver capito bene le congruenze)

Nota: non serve escludere lo zero come hai fatto tu, infatti lo zero è divisibile per ogni numero.