Creazione di $D_p$
Sia $G$ gruppo con $|G|=2p$. $P<=G$ sottogruppo normale di $G$, $Q<=G$ sottogruppo di $G$, con $|P|=p$, con $p$ numero primo dispari e $|Q|=2$. Adesso sia a $a$ un generatore di $P$, sia $b$ il generatore di $Q$.
Allora $bab^(-1) in P$ da questo segue che $bab^(-1)=a^(i)$ con $i in {1,...,p-1}$
(fin qui è chiaro, adesso un passaggio che per me non ha alcun senso)
segue che
$b(bab^(-1))^(-1)=ba^ib^(-1)$ (O_o ?!)
Ora è chiaro che $a=(bab^(-1))^2$ essendo $o(b)=2$ (O_o ?!?!)
Dando questi due passaggi per validi il resto della lezione continua ad essere cristallina.
Qualcuno sa aiutarmi? Per me gli ultimi 2 passaggi sono privi di senso, magari è una sciocchezza che non vedo ='(. Grazie.
Allora $bab^(-1) in P$ da questo segue che $bab^(-1)=a^(i)$ con $i in {1,...,p-1}$
(fin qui è chiaro, adesso un passaggio che per me non ha alcun senso)
segue che
$b(bab^(-1))^(-1)=ba^ib^(-1)$ (O_o ?!)
Ora è chiaro che $a=(bab^(-1))^2$ essendo $o(b)=2$ (O_o ?!?!)
Dando questi due passaggi per validi il resto della lezione continua ad essere cristallina.
Qualcuno sa aiutarmi? Per me gli ultimi 2 passaggi sono privi di senso, magari è una sciocchezza che non vedo ='(. Grazie.
Risposte
Ciao a tutti ragazzi =), visto che ancora nessuno risponde posto l' enunciato della dimostrazione.
Se vi può essere d' aiuto e volete fare fin dall' inizio tutto di vostra mano si tratta di dimostrare che se $G$ è un gruppo di ordine $2p$ con $p$ numero primo dispari allora $G~=ZZ_(2p)$ oppure $G~=D_p$
Se vi può essere d' aiuto e volete fare fin dall' inizio tutto di vostra mano si tratta di dimostrare che se $G$ è un gruppo di ordine $2p$ con $p$ numero primo dispari allora $G~=ZZ_(2p)$ oppure $G~=D_p$
Ma sei sicuro che non vi sia qualche errore del tipo:
\[
b\left(bab^{-1}\right)^{-1}b^{-1}=ba^ib^{-1};
\]
inoltre è:
\[
a^{2i}=\left(bab^{-1}\right)^2=ba^2b^{-1}.
\]
\[
b\left(bab^{-1}\right)^{-1}b^{-1}=ba^ib^{-1};
\]
inoltre è:
\[
a^{2i}=\left(bab^{-1}\right)^2=ba^2b^{-1}.
\]
Quei due passaggi tornano poco anche a me, e oltretutto il primo, per lo meno per come è scritto, dubito che sia vero.
Questa dimostrazione si può fare così:
Sia $G$ di ordine $2p$ e siano $P$ un suo sottogruppo di ordine $p$ e $Q$ un suo sottogruppo di ordine $2$. $P$ è normale, perché ha indice $2$. Se anche $Q$ è normale, $G$ è il ciclico di ordine $2p$ (se hai fatto i teoremi di Sylow, questo viene gratis; se ancora non li hai fatti basta fare due conti).
Supponiamo quindi che $Q$ non sia normale. Sia $a$ un generatore di $P$ e sia $b$ un generatore di $Q$. Siccome $P$ è normale si ha $b^{-1}ab = a^m$ per qualche $m$ tra $2$ e $p-1$. Escludiamo $m=1$, perché in quel caso $a$ commuterebbe con $b$ violando l'assunto che $Q$ non è normale. D'altra parte $b^2 =1$, perciò $a = b^{-2} a b^2 = b^{-1}a^m b = (b^{-1}ab)^m = a^{m^2}$. Questo significa che $m^2 \equiv 1 \mod p$. Si ottiene perciò che $m = p-1$.
A questo punto ci basta scrivere l'isomorfismo tra $G$ e $D_{2p}$ nel modo più naturale che ci viene in mente (mandando i due generatori da un lato nei due generatori dall'altro). L'identità che abbiamo dimostrato, ovvero $b^{-1}ab = a^{-1}$, ci serve per far vedere che in effetti si tratta di un isomorfismo.
Questa dimostrazione si può fare così:
Sia $G$ di ordine $2p$ e siano $P$ un suo sottogruppo di ordine $p$ e $Q$ un suo sottogruppo di ordine $2$. $P$ è normale, perché ha indice $2$. Se anche $Q$ è normale, $G$ è il ciclico di ordine $2p$ (se hai fatto i teoremi di Sylow, questo viene gratis; se ancora non li hai fatti basta fare due conti).
Supponiamo quindi che $Q$ non sia normale. Sia $a$ un generatore di $P$ e sia $b$ un generatore di $Q$. Siccome $P$ è normale si ha $b^{-1}ab = a^m$ per qualche $m$ tra $2$ e $p-1$. Escludiamo $m=1$, perché in quel caso $a$ commuterebbe con $b$ violando l'assunto che $Q$ non è normale. D'altra parte $b^2 =1$, perciò $a = b^{-2} a b^2 = b^{-1}a^m b = (b^{-1}ab)^m = a^{m^2}$. Questo significa che $m^2 \equiv 1 \mod p$. Si ottiene perciò che $m = p-1$.
A questo punto ci basta scrivere l'isomorfismo tra $G$ e $D_{2p}$ nel modo più naturale che ci viene in mente (mandando i due generatori da un lato nei due generatori dall'altro). L'identità che abbiamo dimostrato, ovvero $b^{-1}ab = a^{-1}$, ci serve per far vedere che in effetti si tratta di un isomorfismo.
Grazie, così sono riuscito a capire questa dimostrazione =).
A questo punto non mi rimane da credere altro, ho sbagliato a prendere gli appunti a lezione oppure il professore ha distrattamente commesso qualche errore.
A questo punto non mi rimane da credere altro, ho sbagliato a prendere gli appunti a lezione oppure il professore ha distrattamente commesso qualche errore.
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