Creare campo / dominio
nell'esercizio 2.65 delle dispense di martino si chiede di esibire un campo di otto elementi. la soluzione è la seguente: prende un polinomio irriducibile in $ZZ_2$, nella specie $x^3+x+1$, il polinomio genera un ideale massimale e quindi $(ZZ_2[x])/((x^3+x+1))$ è un campo. ora mi chiedevo se con la stessa tecnica si può creare un dominio che non sia un campo. io non credo perchè avrei bisogno di un polinomio primo che non sia irriducibile ma in un dominio, anche non fattoriale, ogni elemento primo è irriducibile quindi o genero un campo o niente. è corretto? grazie.
Risposte
Ciao!
Se ho capito bene stai chiedendo se un quoziente [tex]A = F[X]/(P(X))[/tex] con [tex]F[/tex] campo può essere un dominio che non è un campo. Beh questo vale se e solo se [tex]P(X)[/tex] è il polinomio nullo (nel qual caso quel [tex]A[/tex] è isomorfo a [tex]F[X][/tex]). Infatti se [tex]P(X)[/tex] è riducibile allora una fattorizzazione non banale di [tex]P(X)[/tex] corrisponde a una fattorizzazione non banale di [tex]0[/tex] in [tex]A[/tex] (che quindi non è un dominio). E se invece [tex]P(X)[/tex] è irriducibile allora [tex]F[X]/(P(X))[/tex] è obbligato ad essere un campo.
Se vuoi ottenere un dominio non campo devi prendere [tex]F[/tex] non campo, per esempio [tex]\mathbb{Z}[X]/(X) \cong \mathbb{Z}[/tex].
Più in generale se [tex]A[/tex] è un dominio e [tex]K \subseteq A[/tex] è un suo sottoanello che è anche un campo, e con la struttura naturale di spazio vettoriale la dimensione [tex]\dim_K(A)[/tex] è finita allora anche [tex]A[/tex] è un campo (questo fatto si dimostra in modo simile al fatto che i domini finiti sono campi, che è il 2.8).
C'è un risultato profondo di algebra commutativa che si chiama "lemma di Zariski" che dice la cosa seguente. Supponiamo che [tex]A[/tex] sia un dominio che ammette un sottoanello [tex]K[/tex] che è anche un campo, e supponiamo che esista un sottoinsieme finito [tex]X[/tex] di [tex]A[/tex] tale che il sottoanello di [tex]A[/tex] generato da [tex]K \cup X[/tex] è uguale ad [tex]A[/tex] (in altre parole, [tex]A[/tex] è finitamente generato come [tex]K[/tex]-algebra). Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) [tex]A[/tex] ha dimensione finita su [tex]K[/tex],
(2) [tex]A[/tex] è un campo.
L'implicazione difficile è [tex](2) \Rightarrow (1)[/tex], l'altra è l'esercizio che ho proposto sopra.
Ci sono tantissime riformulazioni algebriche e geometriche di questo risultato uno (Theorem 4.7),
su wiki [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Zariski's_lemma]due[/url],
e se ne era parlato sul forum tre.
[Ho modificato secondo la segnalazione di Stickelberger - Grazie!]
Se ho capito bene stai chiedendo se un quoziente [tex]A = F[X]/(P(X))[/tex] con [tex]F[/tex] campo può essere un dominio che non è un campo. Beh questo vale se e solo se [tex]P(X)[/tex] è il polinomio nullo (nel qual caso quel [tex]A[/tex] è isomorfo a [tex]F[X][/tex]). Infatti se [tex]P(X)[/tex] è riducibile allora una fattorizzazione non banale di [tex]P(X)[/tex] corrisponde a una fattorizzazione non banale di [tex]0[/tex] in [tex]A[/tex] (che quindi non è un dominio). E se invece [tex]P(X)[/tex] è irriducibile allora [tex]F[X]/(P(X))[/tex] è obbligato ad essere un campo.
Se vuoi ottenere un dominio non campo devi prendere [tex]F[/tex] non campo, per esempio [tex]\mathbb{Z}[X]/(X) \cong \mathbb{Z}[/tex].
Più in generale se [tex]A[/tex] è un dominio e [tex]K \subseteq A[/tex] è un suo sottoanello che è anche un campo, e con la struttura naturale di spazio vettoriale la dimensione [tex]\dim_K(A)[/tex] è finita allora anche [tex]A[/tex] è un campo (questo fatto si dimostra in modo simile al fatto che i domini finiti sono campi, che è il 2.8).
C'è un risultato profondo di algebra commutativa che si chiama "lemma di Zariski" che dice la cosa seguente. Supponiamo che [tex]A[/tex] sia un dominio che ammette un sottoanello [tex]K[/tex] che è anche un campo, e supponiamo che esista un sottoinsieme finito [tex]X[/tex] di [tex]A[/tex] tale che il sottoanello di [tex]A[/tex] generato da [tex]K \cup X[/tex] è uguale ad [tex]A[/tex] (in altre parole, [tex]A[/tex] è finitamente generato come [tex]K[/tex]-algebra). Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) [tex]A[/tex] ha dimensione finita su [tex]K[/tex],
(2) [tex]A[/tex] è un campo.
L'implicazione difficile è [tex](2) \Rightarrow (1)[/tex], l'altra è l'esercizio che ho proposto sopra.
Ci sono tantissime riformulazioni algebriche e geometriche di questo risultato uno (Theorem 4.7),
su wiki [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Zariski's_lemma]due[/url],
e se ne era parlato sul forum tre.
[Ho modificato secondo la segnalazione di Stickelberger - Grazie!]
Non si chiama di solito "Zariski's Lemma" quell'affermazione?
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Zariski's_lemma[/url]
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Zariski's_lemma[/url]
Ho modificato, grazie 
due grazie a martino.
uno per la spiegazione (che comprendo fino a prima di zariski, poi è troppo).
l'altro per le dispense, che da studente non frequentante (lavoratore a tempo pieno) mi sono utilissime.
uno per la spiegazione (che comprendo fino a prima di zariski, poi è troppo).
l'altro per le dispense, che da studente non frequentante (lavoratore a tempo pieno) mi sono utilissime.
Prego 
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