Costruzione standard di N
Ho letto da poco la costruzione standard dei numeri naturali su wikipedia, ed ho letto che
"l'operazione di addizione viene definita nel modo seguente: date due classi di insiemi (quindi due numeri) a e b, se A e B sono insiemi disgiunti appartenenti alle classi a e b rispettivamente, la somma a + b è la classe di equivalenza dell'insieme A U B. "
Questa definizione di somma l'ho capita che se ho un insieme A di noci in numero di a ed un insieme B di noci in numero di b si definisce a+b la cardinalità di A U B.
Mi chiedevo come si legge tale definizione per se l'insieme A è il numero naturale a l'insieme B è il numero naturale b, senza passare dal concetto di noci.
Per la definizione standard A⊂B (se b>a) e la loro unione sarebbe B, o forse sarebbero da considerare disgiunti?
"l'operazione di addizione viene definita nel modo seguente: date due classi di insiemi (quindi due numeri) a e b, se A e B sono insiemi disgiunti appartenenti alle classi a e b rispettivamente, la somma a + b è la classe di equivalenza dell'insieme A U B. "
Questa definizione di somma l'ho capita che se ho un insieme A di noci in numero di a ed un insieme B di noci in numero di b si definisce a+b la cardinalità di A U B.
Mi chiedevo come si legge tale definizione per se l'insieme A è il numero naturale a l'insieme B è il numero naturale b, senza passare dal concetto di noci.
Per la definizione standard A⊂B (se b>a) e la loro unione sarebbe B, o forse sarebbero da considerare disgiunti?
Risposte
Salve nikc091,
perdonami ma non capisco il tuo quesito!!!
Cordiali saluti
"nick091":
Mi chiedevo come si legge tale definizione per se l'insieme A è il numero naturale a l'insieme B è il numero naturale b, senza passare dal concetto di noci.
Per la definizione standard A⊂B (se b>a) e la loro unione sarebbe B, o forse sarebbero da considerare disgiunti?
perdonami ma non capisco il tuo quesito!!!
Cordiali saluti
Scusatemi voi se non mi faccio capire
ho preso per oro colato http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_naturale
IMHO
A questo punto ci serve costruire un insieme di riferimento per ogni classe di insiemi i cui elementi posso essere messi in corrispondenza biunivoca, ed assegnare a ciascun insieme di riferimento un'etichetta (numero) che potremo utilizzare per identificare la classe.
La tecnica è quella di definire un punto di partenza ed una funzione successione S. Una specie di induzione.
L'insieme vuoto lo assumiamo come primo insieme di riferimento e lo identifichiamo con l'etichetta 0, mentre S(a) = a ∪ {a}
Ogni numero naturale è allora uguale all'insieme dei numeri naturali che, partendo dall'insieme vuoto, sono stati precedentemente costruiti
0 = { }
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
..............
per cui 0⊂1⊂2⊂3......
ho qualche dubbio sul concetto di classe e di insieme, comunque se non ho scritto un mare di sciocchezze proseguo
Prima domanda: A e B di cui si parla sono due insiemi, per cui posso considerare due insiemi di noci come insiemi A e B?
Seconda domanda: secondo la costruzione standard di cui più sopra, i numeri a e b sono insiemi di classe rispettivamente a e b?
Terza domanda: (ammesso che la seconda risposta sia SI) supposto a
Nicola
ho preso per oro colato http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_naturale
"wikipedia":
Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati in una classe, che è come assegnare loro un'etichetta, a questa etichetta viene dato il nome di numero naturale (ndr: o forse meglio cardinalità degli insiemi della classe). La classe corrispondente all'insieme vuoto viene indicata con 0.
IMHO
A questo punto ci serve costruire un insieme di riferimento per ogni classe di insiemi i cui elementi posso essere messi in corrispondenza biunivoca, ed assegnare a ciascun insieme di riferimento un'etichetta (numero) che potremo utilizzare per identificare la classe.
La tecnica è quella di definire un punto di partenza ed una funzione successione S. Una specie di induzione.
L'insieme vuoto lo assumiamo come primo insieme di riferimento e lo identifichiamo con l'etichetta 0, mentre S(a) = a ∪ {a}
Ogni numero naturale è allora uguale all'insieme dei numeri naturali che, partendo dall'insieme vuoto, sono stati precedentemente costruiti
0 = { }
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
..............
per cui 0⊂1⊂2⊂3......
ho qualche dubbio sul concetto di classe e di insieme, comunque se non ho scritto un mare di sciocchezze proseguo
"wikipedia":
L'operazione di addizione viene definita nel modo seguente: date due classi di insiemi (quindi due numeri) a e b, se A e B sono insiemi disgiunti appartenenti alle classi a e b rispettivamente, la somma a + b è la classe di equivalenza dell'insieme A U B.
Prima domanda: A e B di cui si parla sono due insiemi, per cui posso considerare due insiemi di noci come insiemi A e B?
Seconda domanda: secondo la costruzione standard di cui più sopra, i numeri a e b sono insiemi di classe rispettivamente a e b?
Terza domanda: (ammesso che la seconda risposta sia SI) supposto a
Nicola
Non cercarti inutili complicazioni, usa gli assiomi del buon Peano per costruire i numeri. Tra l'altro, partendo da N con Peano poi puoi costruire Z, Q ed R.
Comunque,
Risposta alla prima domanda: si, possono anche essere due insiemi di noci o di qualsiasi altro concetto. Stai parlando della classe di equivalenza, ossia una insieme contenenente tutti gli insiemi in relazione tra loro biunivocamente. L'insieme di equivalenza di equicardinalità 2 contiene l'insieme di due noci, l'insieme di due papere, l'insieme di due cani ecc...
Seconda domanda: i numeri a e b sono le classi d'equivalenza, poi tu fai una operazione tra classi che ti restituisce un'altra classe, ossia un altro numero.
Comunque,
Risposta alla prima domanda: si, possono anche essere due insiemi di noci o di qualsiasi altro concetto. Stai parlando della classe di equivalenza, ossia una insieme contenenente tutti gli insiemi in relazione tra loro biunivocamente. L'insieme di equivalenza di equicardinalità 2 contiene l'insieme di due noci, l'insieme di due papere, l'insieme di due cani ecc...
Seconda domanda: i numeri a e b sono le classi d'equivalenza, poi tu fai una operazione tra classi che ti restituisce un'altra classe, ossia un altro numero.
"Dreamphiro":
Non cercarti inutili complicazioni, usa gli assiomi del buon Peano per costruire i numeri. Tra l'altro, partendo da N con Peano poi puoi costruire Z, Q ed R.
Non devo risolvere un esercizio, volevo capire la costruzione
Comunque,
Risposta alla prima domanda: si, possono anche essere due insiemi di noci o di qualsiasi altro concetto. Stai parlando della classe di equivalenza, ossia una insieme contenenente tutti gli insiemi in relazione tra loro biunivocamente. L'insieme di equivalenza di equicardinalità 2 contiene l'insieme di due noci, l'insieme di due papere, l'insieme di due cani ecc...
Seconda domanda: i numeri a e b sono le classi d'equivalenza, poi tu fai una operazione tra classi che ti restituisce un'altra classe, ossia un altro numero.
se volessi fare l'unione tra le classi 1 e 3, in pratica come dovrei fare?
Prendi due insiemi qualsiasi rispettivamente della classe 1 e della classe 3. Quindi, puoi prendere per esempio l'insieme contenente un uomo, e l'insieme contenente tre uomini. Facendo l'unione di questi due ultimi insiemi che ti ho scritto, ottieni ovviamente un altro insieme, cioé ottieni l'insieme contenente l'uomo e i tre uomini dell'insieme nella classe 3. Questo insieme qua quanti elementi ha? Cinque. Quindi, appartiene alla classe cinque, ossia é un rappresentante della classe cinque. Ebbene, facendo questa operazione hai ottenuto allora un insieme della classe cinque che possiamo concettualmente dire che rappresenti il numero naturale cinque che si ottiene facendo l'operazione con i metodi ordinari.
grazie per la risposta chiarissima
a parte solo che..... 1+3=4 e non 5
ma sto scherzando, è evidente che non è un problema
e continuando potrei utilizzare gli insiemi
{ }
{0}
{0,1}
{0,1,2}
......... ???
te lo chiedo perchè ci sarebbe il problema che {0} ⊂ {0,1,2} per cui verrebbe 1+3=3
a parte solo che..... 1+3=4 e non 5
ma sto scherzando, è evidente che non è un problema
e continuando potrei utilizzare gli insiemi
{ }
{0}
{0,1}
{0,1,2}
......... ???
te lo chiedo perchè ci sarebbe il problema che {0} ⊂ {0,1,2} per cui verrebbe 1+3=3
"nick091":
grazie per la risposta chiarissima
a parte solo che..... 1+3=4 e non 5
ma sto scherzando, è evidente che non è un problema
e continuando potrei utilizzare gli insiemi
{ }
{0}
{0,1}
{0,1,2}
......... ???
te lo chiedo perchè ci sarebbe il problema che {0} ⊂ {0,1,2} per cui verrebbe 1+3=3
Hai ragione, una svista, fa quattro
Per il resto ehehehehe, infatti, se leggi bene la definizione, dice di prendere due insiemi delle due classi su cui vuoi fare l'unione disgiunti!
che fesso che sono stato
grazie dream, era semplicissimo
grazie dream, era semplicissimo
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