Costruzione e proprietà universale dell'anello monoide
Ciao. Sia \( R \) un anello (con unità, come tutti gli altri nel seguito). Se \( M \) è un monoide, si dovrebbe poter costruire un anello \( R[M] \) di funzioni \( M\to R \) a supporto finito ponendo per ogni \( m\mapsto a_m \) e \( m\mapsto b_m \) la somma \( a + b \) pari alla somma di funzioni classica, e il prodotto \( ab \) pari alla funzione \( m\mapsto (ab)_m = \sum_{\substack{x,y\in M\\xy = m}}a_xb_y \).
1. Buona definizione delle operazioni. È evidente che è possibile sommare in quel modo \( m\mapsto a_m \) e \( m\mapsto b_m \). Inoltre, è ovvio che \( \{(x,y)\in M\times M:a_xb_y\neq 0\}\subset\{(x,y)\in M\times M:a_x\neq 0\}\cap\{(x,y)\in M\times M:b_y\neq 0 \} \), quindi quella somma \( \sum_{\substack{(x,y)\in M\times\\xy = m}}a_xb_y \) ha senso e per completare la dimostrazione rimane da verificare che \( ab \) è a supporto finito. Come?
2. Proprietà di anello. L'unica non banale è l'associatività. Come si fa?
3. Proprietà universale nel caso commutativo. È sensato dire che l'anello monoide \( R[M] \) è una quadrupla \( \left(R,M,\iota,\eta\right) \) di un anello \( R \), un monoide \( M \), un omomorfismo \( R\to R[M] \) e un omomorfismo di monoidi \( \eta\colon M\to\left(R[M],{\cdot}\right) \), tale che per ogni anello \( S \), per ogni omomorfismo \( \phi\colon R\to S \), e per ogni omomorfismo di monoidi \( \eta^\prime M\to\left(S,{\cdot}\right) \) esiste un unico omomorfismo \( \psi\colon R\to S \) tale che
L'anello \( R[M] \) sicuramente la soddisfa, ma \( \iota \) è un omomorfismo molto particolare (l'inclusione, quindi è iniettivo).
Dunque 1) che cosa dice questa up? 2) Assomiglia alla proprietà universale dell'anello \( R[\left(X_i\right)_{i\in I}] \) dei polinomi in \( R \) nelle indeterminate \( X_i \) per \( i\in I \). Ma perché allora in quest'ultima non si include l'"universalità" dell'omomorfismo \( \eta\colon M\to\left(R[M],{\cdot}\right) \)? (risposta probabile: perché \( R[\left(X_i\right)_{i\in I}] \) è l'anello monoide sul monoide commutativo libero su \( \left(X_i\right)_{i \in I} \), e quindi per qualche modo che non ho tempo di scoprire sennò non vado più avanti la condizione sarebbe ridondante. È così?)
Poi forse c'è altro ma adesso non mi viene in mente.
1. Buona definizione delle operazioni. È evidente che è possibile sommare in quel modo \( m\mapsto a_m \) e \( m\mapsto b_m \). Inoltre, è ovvio che \( \{(x,y)\in M\times M:a_xb_y\neq 0\}\subset\{(x,y)\in M\times M:a_x\neq 0\}\cap\{(x,y)\in M\times M:b_y\neq 0 \} \), quindi quella somma \( \sum_{\substack{(x,y)\in M\times\\xy = m}}a_xb_y \) ha senso e per completare la dimostrazione rimane da verificare che \( ab \) è a supporto finito. Come?
2. Proprietà di anello. L'unica non banale è l'associatività. Come si fa?
3. Proprietà universale nel caso commutativo. È sensato dire che l'anello monoide \( R[M] \) è una quadrupla \( \left(R,M,\iota,\eta\right) \) di un anello \( R \), un monoide \( M \), un omomorfismo \( R\to R[M] \) e un omomorfismo di monoidi \( \eta\colon M\to\left(R[M],{\cdot}\right) \), tale che per ogni anello \( S \), per ogni omomorfismo \( \phi\colon R\to S \), e per ogni omomorfismo di monoidi \( \eta^\prime M\to\left(S,{\cdot}\right) \) esiste un unico omomorfismo \( \psi\colon R
\begin{tikzcd}
R\ar[dr, "\phi"]\ar[r, "\iota"] & R[M]\ar[d, dotted, "\psi"] & \ar[l, "\eta"]M\ar[dl, "\eta^\prime"]\\
& S
\end{tikzcd}
commuti? (QuickLaTeX per vedere il diagramma, includendo prima [inline]tikz-cd[/inline]).L'anello \( R[M] \) sicuramente la soddisfa, ma \( \iota \) è un omomorfismo molto particolare (l'inclusione, quindi è iniettivo).
Dunque 1) che cosa dice questa up? 2) Assomiglia alla proprietà universale dell'anello \( R[\left(X_i\right)_{i\in I}] \) dei polinomi in \( R \) nelle indeterminate \( X_i \) per \( i\in I \). Ma perché allora in quest'ultima non si include l'"universalità" dell'omomorfismo \( \eta\colon M\to\left(R[M],{\cdot}\right) \)? (risposta probabile: perché \( R[\left(X_i\right)_{i\in I}] \) è l'anello monoide sul monoide commutativo libero su \( \left(X_i\right)_{i \in I} \), e quindi per qualche modo che non ho tempo di scoprire sennò non vado più avanti la condizione sarebbe ridondante. È così?)
Poi forse c'è altro ma adesso non mi viene in mente.
Risposte
Ci sono diversi modi, tutti equivalenti, di enunciare la proprietà universale dell'anello che ti interessa.
Tutte si riducono a quella che segue:
La struttura moltiplicativa sottostante a un anello unitario dà un funtore da anelli a monoidi. Mandare un monoide nel sul monoid ring ne è un aggiunto sinistro.
L'anello dei polinomi su un insieme X, a coefficienti in R, però, ha una proprietà universale diversa: è la R-algebra libera su X.
La differenza tra le due costruzioni è sostanziale. Prendi ad esempio un gruppo G, la sua algebra di gruppo R[G], e l'anello dei polinomi in un numero di indeterminate uguale alla cardinalità del gruppo. Nel secondo, non c'è motivo per cui una coppia di indeterminate soddisfi a delle relazioni che soddisfa in G.
Tutte si riducono a quella che segue:
La struttura moltiplicativa sottostante a un anello unitario dà un funtore da anelli a monoidi. Mandare un monoide nel sul monoid ring ne è un aggiunto sinistro.
L'anello dei polinomi su un insieme X, a coefficienti in R, però, ha una proprietà universale diversa: è la R-algebra libera su X.
La differenza tra le due costruzioni è sostanziale. Prendi ad esempio un gruppo G, la sua algebra di gruppo R[G], e l'anello dei polinomi in un numero di indeterminate uguale alla cardinalità del gruppo. Nel secondo, non c'è motivo per cui una coppia di indeterminate soddisfi a delle relazioni che soddisfa in G.
Ci sono troppe parole che non conosco, grr. Più o meno credo di aver capito però.
Per dimostrare che \( {\cdot} \) è ben posta come faccio? Se \( (ab)_m \) è \( \neq 0 \) dev'essere \( a_xb_y\neq 0 \) per qualche \( x,y\in M \), e in definitiva \( a_x\neq 0\) e \( b_y\neq 0 \). Posso dire che, se per assurdo avessimo un numero non finito di \( (ab)_m\neq 0 \), allora dovrebbe esserci un numero non finito di \( a_x\neq 0 \) e \( b_x\neq 0 \), contraddicendo \( \operatorname{supp}a \) e \( \operatorname{supp}b \) finiti?
Per l'associatività non mi è venuto nulla.
Per dimostrare che \( {\cdot} \) è ben posta come faccio? Se \( (ab)_m \) è \( \neq 0 \) dev'essere \( a_xb_y\neq 0 \) per qualche \( x,y\in M \), e in definitiva \( a_x\neq 0\) e \( b_y\neq 0 \). Posso dire che, se per assurdo avessimo un numero non finito di \( (ab)_m\neq 0 \), allora dovrebbe esserci un numero non finito di \( a_x\neq 0 \) e \( b_x\neq 0 \), contraddicendo \( \operatorname{supp}a \) e \( \operatorname{supp}b \) finiti?
Per l'associatività non mi è venuto nulla.
Il supporto del prodotto alla Cauchy di funzioni a supporto finito, è a supporto finito, perché è un sottoinsieme dell'intersezione dei supporti:
\[
z\mapsto \sum_{xy=z} a_xb_y
\] è a supporto finito perché l'insieme di quegli \(x,y\) è un sottoinsieme dell'insieme degli \(x\) tali che \(a_x \ne 0\), intersecato con l'insieme degli \(y\) tali che \(b_y\neq 0\).
L'associatività del prodotto si fa a mano:
\[
a\cdot (b\cdot c) = w \mapsto \sum_{xy=w} a_x (b\cdot c)_y = \sum_{xy=w}a_x\Big(\sum_{zt=y}b_zc_t\Big)=\sum_{xy=w}\sum_{zt=y}a_xb_zc_t
\] mentre
\[
(a\cdot b)\cdot c = w \mapsto \sum_{xy=w} (a\cdot b)_x c_y = \sum_{xy=w}\Big(\sum_{zt=x}a_zb_t\Big)c_y = \sum_{xy=w} \sum_{zt=x}a_zb_t c_y
\]
Queste due somme sono uguali?
\[
z\mapsto \sum_{xy=z} a_xb_y
\] è a supporto finito perché l'insieme di quegli \(x,y\) è un sottoinsieme dell'insieme degli \(x\) tali che \(a_x \ne 0\), intersecato con l'insieme degli \(y\) tali che \(b_y\neq 0\).
L'associatività del prodotto si fa a mano:
\[
a\cdot (b\cdot c) = w \mapsto \sum_{xy=w} a_x (b\cdot c)_y = \sum_{xy=w}a_x\Big(\sum_{zt=y}b_zc_t\Big)=\sum_{xy=w}\sum_{zt=y}a_xb_zc_t
\] mentre
\[
(a\cdot b)\cdot c = w \mapsto \sum_{xy=w} (a\cdot b)_x c_y = \sum_{xy=w}\Big(\sum_{zt=x}a_zb_t\Big)c_y = \sum_{xy=w} \sum_{zt=x}a_zb_t c_y
\]
Queste due somme sono uguali?
Allora. Il supporto è ok.
Per l'associatività: è lì che mi blocco (lì=sono uguali 'ste due somme?)!
Per l'associatività: è lì che mi blocco (lì=sono uguali 'ste due somme?)!
Beh, rinomina gli indici, cosa viene fuori?
Hai risolto alla fine? Una maniera alternativa, ma equivalente in termini di fatica, di procedere, è dire che \(R[M]\) possiede una certa operazione di anello che, ovviamente, deve essere \(R\)-bilineare. Si può quindi imporre che la moltiplicazione tra somme formali del tipo \(\sum_m a_mm\) sia associativa, similmente a quello che si fa in un \(R\)-modulo libero (altro non è, l'anello monoide), e quello che ti viene fuori è esattamente l'operazione che manda \(\sum_m a_mm, \sum b_nn\) in \(\sum_r\big(\sum_{ij=r}a_ib_j\big)r\).
In effetti è proprio quello che accade:
\[\begin{align*}
\textstyle \Big[\Big(\sum_{m\in M}a_mm \Big)\Big(\sum_{n\in M}b_nn\Big)\Big]\Big(\sum_{p\in M}c_pp \Big) & \textstyle =\Big(\sum_{mn}a_mb_n m n \Big)\Big(\sum_kc_p p \Big)\\
&\textstyle =\sum_{mnp}a_mb_nc_p(m n ) p \\
&\textstyle =\Big(\sum_ma_m m\Big)\Big(\sum_{n,p}b_nc_p n p \Big)\\
&\textstyle =\Big(\sum_ma_m m\Big)\Big[\Big(\sum_nb_n n \Big)\Big(\sum_pc_p p \Big)\Big]
\end{align*}\]
Veniamo, ora, alle cose interessanti:
i. Ogni omomorfismo di monoidi \(f : M \to S\), dove \(S\) è una \(R\)-algebra, ammette un'unica estensione a un omomorfismo di \(R\)-algebre \(\bar f : R[M] \to S\), tale che l'immagine dell'elemento \(m \in M\) guardato come singoletto in \(R[M]\) (ossia l'immagine d \(m\) mediante l'omomorfismo di monoidi \(\eta_M : M \to R[M]\)) sia esattamente \(f(m)\). Chiaramente, un omomorfismo di \(R\)-algebre (unitarie) è un omomorfismo di \(R\)-moduli che sia anche un omomorfismo di monoidi rispetto alla struttura d'anello (unitario) di dominio e codominio.
ii. Esiste una biiezione, naturale sia in \(S\) che in \(M\),
\[
\hom_{{\sf Alg}_R}(R[M],S) \cong \hom_{\sf Mon}(M, US)
\]iii. Per ogni \(R\)-algebra \(S\) esiste una mappa naturale in \(S\), detta counità o valutazione, definita da
\[ \epsilon_S : R[US] \to S : \sum_{x\in S} a_x x \mapsto \sum_{x\in S}(a_x \cdot x)\]dove a RHS la somma e il prodotto sono fatti in \(S\), con la proprietà che la biiezione di cui al punto ii sia indotta per composizione dalla regola
\[
\big(f:M\to US \big) \mapsto \big( \epsilon_S \circ R[f] : R[M] \to R[US] \to S\big)
\]
O meglio, la proprietà universale è la stessa, ma ora invece di dimenticare la struttura di gruppo abeliano di \(S\) ti dimentichi tutto, e tieni solo l'insieme \(|S|\) degli elementi di \(S\). Questo significa che le condizioni equivalenti di cu sopra si rifrasano così:
i. Ogni funzione di insiemi \(f : M \to S\), dove \(S\) è una \(R\)-algebra, ammette un'unica estensione a un omomorfismo di \(R\)-algebre \(\bar f : R[M] \to S\), tale che l'immagine dell'elemento \(m \in M\) guardato come monomio in \(R[M]\) (ossia l'immagine d \(m\) mediante la funzione \(\eta_M : M \to R[M]\) che manda \(m\) nella "indeterminata" \(m\)) sia esattamente \(f(m)\).
ii. Esiste una biiezione, naturale sia in \(S\) che in \(M\),
\[
\hom_{{\sf Alg}_R}(R[M],S) \cong \hom_{\sf Set}(M, |S|)
\]iii. Per ogni \(R\)-algebra \(S\) esiste una mappa naturale in \(S\), detta counità o valutazione, definita da
\[ \epsilon_S : R[|S|] \to S : \sum_{x\in S} a_x x \mapsto \sum_{x\in S}(a_x \cdot x)\]dove a RHS la somma e il prodotto sono fatti in \(S\), con la proprietà che la biiezione di cui al punto ii sia indotta per composizione dalla regola
\[
\big(f:M\to |S| \big) \mapsto \big( \epsilon_S \circ R[f] : R[M] \to R[|S|] \to S\big)
\]Sebbene questa costruzione universale sembri identica a quella di sopra, avere dimenticato più struttura cambia radicalmente il suo comportamento:
Per esempio concreto, puoi prendere l'anello monoide \(\mathbb Z[C_2]\) sul gruppo ciclico con due elementi: dimostra che esiste un isomorfismo
\[
\mathbb Z[C_2] \cong \mathbb Z[T]/(T^2-1)
\] dove a RHS c'è l'anello quoziente dell'anello dei polinomi in una indeterminata, per l'ideale \((T^2-1)\) (vale per ogni altro gruppo ciclico che \(\mathbb Z[C_n]\cong \mathbb Z[T]/(T^n-1)\); but what if si cambia anello dei coefficienti, e what if la caratteristica di \(R\) non è coprima con \(n\)?); questo chiaramente non è isomorfo a \(\mathbb Z[|C_2|]=\mathbb Z[X,Y]\) perché in questo non ci sono relazioni di sorta tra le variabili (ti sei "dimenticatə" che erano gli elementi del gruppo ciclico di ordine 2).
In effetti è proprio quello che accade:
\[\begin{align*}
\textstyle \Big[\Big(\sum_{m\in M}a_mm \Big)\Big(\sum_{n\in M}b_nn\Big)\Big]\Big(\sum_{p\in M}c_pp \Big) & \textstyle =\Big(\sum_{mn}a_mb_n m n \Big)\Big(\sum_kc_p p \Big)\\
&\textstyle =\sum_{mnp}a_mb_nc_p(m n ) p \\
&\textstyle =\Big(\sum_ma_m m\Big)\Big(\sum_{n,p}b_nc_p n p \Big)\\
&\textstyle =\Big(\sum_ma_m m\Big)\Big[\Big(\sum_nb_n n \Big)\Big(\sum_pc_p p \Big)\Big]
\end{align*}\]
Veniamo, ora, alle cose interessanti:
La struttura moltiplicativa sottostante a un anello unitario dà un funtore da anelli a monoidi.Questo significa che esiste un funtore, definito in maniera semi-tautologica, \(U : {\sf Alg}_R\to {\sf Mon} : R\mapsto (R,\times)\). ("U" sta per "underlying monoid".)
Mandare un monoide nel sul monoid ring ne è un aggiunto sinistro.Questo significa che (equivalentemente)
i. Ogni omomorfismo di monoidi \(f : M \to S\), dove \(S\) è una \(R\)-algebra, ammette un'unica estensione a un omomorfismo di \(R\)-algebre \(\bar f : R[M] \to S\), tale che l'immagine dell'elemento \(m \in M\) guardato come singoletto in \(R[M]\) (ossia l'immagine d \(m\) mediante l'omomorfismo di monoidi \(\eta_M : M \to R[M]\)) sia esattamente \(f(m)\). Chiaramente, un omomorfismo di \(R\)-algebre (unitarie) è un omomorfismo di \(R\)-moduli che sia anche un omomorfismo di monoidi rispetto alla struttura d'anello (unitario) di dominio e codominio.
ii. Esiste una biiezione, naturale sia in \(S\) che in \(M\),
\[
\hom_{{\sf Alg}_R}(R[M],S) \cong \hom_{\sf Mon}(M, US)
\]iii. Per ogni \(R\)-algebra \(S\) esiste una mappa naturale in \(S\), detta counità o valutazione, definita da
\[ \epsilon_S : R[US] \to S : \sum_{x\in S} a_x x \mapsto \sum_{x\in S}(a_x \cdot x)\]dove a RHS la somma e il prodotto sono fatti in \(S\), con la proprietà che la biiezione di cui al punto ii sia indotta per composizione dalla regola
\[
\big(f:M\to US \big) \mapsto \big( \epsilon_S \circ R[f] : R[M] \to R[US] \to S\big)
\]
L'anello dei polinomi su un insieme X, a coefficienti in R, però, ha una proprietà universale diversa: è la R-algebra libera su X.
O meglio, la proprietà universale è la stessa, ma ora invece di dimenticare la struttura di gruppo abeliano di \(S\) ti dimentichi tutto, e tieni solo l'insieme \(|S|\) degli elementi di \(S\). Questo significa che le condizioni equivalenti di cu sopra si rifrasano così:
i. Ogni funzione di insiemi \(f : M \to S\), dove \(S\) è una \(R\)-algebra, ammette un'unica estensione a un omomorfismo di \(R\)-algebre \(\bar f : R[M] \to S\), tale che l'immagine dell'elemento \(m \in M\) guardato come monomio in \(R[M]\) (ossia l'immagine d \(m\) mediante la funzione \(\eta_M : M \to R[M]\) che manda \(m\) nella "indeterminata" \(m\)) sia esattamente \(f(m)\).
ii. Esiste una biiezione, naturale sia in \(S\) che in \(M\),
\[
\hom_{{\sf Alg}_R}(R[M],S) \cong \hom_{\sf Set}(M, |S|)
\]iii. Per ogni \(R\)-algebra \(S\) esiste una mappa naturale in \(S\), detta counità o valutazione, definita da
\[ \epsilon_S : R[|S|] \to S : \sum_{x\in S} a_x x \mapsto \sum_{x\in S}(a_x \cdot x)\]dove a RHS la somma e il prodotto sono fatti in \(S\), con la proprietà che la biiezione di cui al punto ii sia indotta per composizione dalla regola
\[
\big(f:M\to |S| \big) \mapsto \big( \epsilon_S \circ R[f] : R[M] \to R[|S|] \to S\big)
\]Sebbene questa costruzione universale sembri identica a quella di sopra, avere dimenticato più struttura cambia radicalmente il suo comportamento:
La differenza tra le due costruzioni è sostanziale. Prendi ad esempio un gruppo G, la sua algebra di gruppo R[G],
Per esempio concreto, puoi prendere l'anello monoide \(\mathbb Z[C_2]\) sul gruppo ciclico con due elementi: dimostra che esiste un isomorfismo
\[
\mathbb Z[C_2] \cong \mathbb Z[T]/(T^2-1)
\] dove a RHS c'è l'anello quoziente dell'anello dei polinomi in una indeterminata, per l'ideale \((T^2-1)\) (vale per ogni altro gruppo ciclico che \(\mathbb Z[C_n]\cong \mathbb Z[T]/(T^n-1)\); but what if si cambia anello dei coefficienti, e what if la caratteristica di \(R\) non è coprima con \(n\)?); questo chiaramente non è isomorfo a \(\mathbb Z[|C_2|]=\mathbb Z[X,Y]\) perché in questo non ci sono relazioni di sorta tra le variabili (ti sei "dimenticatə" che erano gli elementi del gruppo ciclico di ordine 2).
Ho visto la risposta! Tra non molto mi faccio vivo (prima ho un po’ da fare).
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