Costruire un campo con 9 elementi
Ho un esercizio (svolto a lezione) che mi chiede di costruire un campo di 9 elementi. Nella soluzione che ho viene messo in evidenza che $9=3^2 => p=3$. Quindi viene considerato un campo $K={at+b | a,b \in \mathbb Z_3 , t^2=-t+1}={0,1,2,t,t+1,t+2,2t,2t+1,2t+2}$ avente appunto nove elementi e poi viene detto che $K$ è isomorfo al quoziente $\mathbb Z_3[x] $/$ (x^2+x-1)$.
Ora, io ho qualche problema:
. So da una proposizione che il quoziente tra un anello e un ideale massimale è un campo, ma non ho capito come si fa ad affermare così dal nulla che $(x^2+x-1)$ è massimale (per poter quindi affermare che K è esso stesso un campo).
. Non ho capito da dove esce la condizione $t^2=-t+1$ nella definizione di $K$ che immagino sia collegata all'ideale precedente.
. Fatico a focalizzare il quoziente. So che $\mathbb Z_3[x]={a_0 + a_1x + ... + a_d x^d | a_i \in \mathbb Z_3 \forall i}$ e che l'ideale è $(x^2+x-1)={f(x^2+x-1) | f \in \mathbb Z_3[x]}$ ma non riesco a capire come possa venir fuori un quoziente di 9 elementi (quoziente, mio acerrimo nemico
).
Vi ringrazio.
Ora, io ho qualche problema:
. So da una proposizione che il quoziente tra un anello e un ideale massimale è un campo, ma non ho capito come si fa ad affermare così dal nulla che $(x^2+x-1)$ è massimale (per poter quindi affermare che K è esso stesso un campo).
. Non ho capito da dove esce la condizione $t^2=-t+1$ nella definizione di $K$ che immagino sia collegata all'ideale precedente.
. Fatico a focalizzare il quoziente. So che $\mathbb Z_3[x]={a_0 + a_1x + ... + a_d x^d | a_i \in \mathbb Z_3 \forall i}$ e che l'ideale è $(x^2+x-1)={f(x^2+x-1) | f \in \mathbb Z_3[x]}$ ma non riesco a capire come possa venir fuori un quoziente di 9 elementi (quoziente, mio acerrimo nemico
).Vi ringrazio.
Risposte
partiamo dalle cose teoriche:
1) $(x^2+x-1)$ è massimale perchè è un polinomio irriducibile in $ZZ_3[x]$ che è un P.I.D. (dominio ad ideali principali) e dunque (irriducibile -> massimale tra gli ideali principali) ti dice che il tuo K è un campo.
2)L'ultima proposizione che hai scritto t dice che appunto che se tu quozienti un anello di polinomi $F[x]$ per un polinomio monico $x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_0$ hai che il quoziente $T={b_0+b_1x+...+b_(n-1)x^(n-1)}$ e che questi elementi sono tutti distinti!!!
dunque hai in questo caso che $x^2+x-1 = 0$ in $K$ dunque $t^2=-t+1$ e data la proposizione 2 hai che $K={at+b} a,binZZ_3$ ma dato che $ain{0,1,2} $ e lo stesso vale per b hai a livello combinatorio che gli elementi del tuo anello sono tutti le possibili disposizioni con ripetizione di 3 elementi (0,1,2) in 2 posizioni (a,b) ovvero sono $3^2=9$ elementi!
1) $(x^2+x-1)$ è massimale perchè è un polinomio irriducibile in $ZZ_3[x]$ che è un P.I.D. (dominio ad ideali principali) e dunque (irriducibile -> massimale tra gli ideali principali) ti dice che il tuo K è un campo.
2)L'ultima proposizione che hai scritto t dice che appunto che se tu quozienti un anello di polinomi $F[x]$ per un polinomio monico $x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_0$ hai che il quoziente $T={b_0+b_1x+...+b_(n-1)x^(n-1)}$ e che questi elementi sono tutti distinti!!!
dunque hai in questo caso che $x^2+x-1 = 0$ in $K$ dunque $t^2=-t+1$ e data la proposizione 2 hai che $K={at+b} a,binZZ_3$ ma dato che $ain{0,1,2} $ e lo stesso vale per b hai a livello combinatorio che gli elementi del tuo anello sono tutti le possibili disposizioni con ripetizione di 3 elementi (0,1,2) in 2 posizioni (a,b) ovvero sono $3^2=9$ elementi!
2)L'ultima proposizione che hai scritto t dice che appunto che se tu quozienti un anello di polinomi $F[x]$ per un polinomio monico $x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_0$ hai che il quoziente $T={b_0+b_1x+...+b_(n-1)x^(n-1)}$ e che questi elementi sono tutti distinti!!!
Qui sta uno dei miei dubbi più grossi. Nel senso: perchè il quoziente è proprio $T={b_0+b_1x+...+b_(n-1)x^(n-1)}$?
La mia non comprensione nasce dal fatto che non capisco dove sia la condizione che vincola i polinomi del quoziente ad essere di grado minore del polinomio generante l'ideale massimale col quale quoziento. Ad esempio: perchè $x^2+x+1$ non può stare nel quoziente?
sono di grado minore perchè sono classi di resto modulo $x^2+x-1$!!! t spiego perchè $x^2+x+1$ "non è" nel quoziente in 2 modi diversi (anche se equivalenti) e dovrebbe essere tutto + chiaro:
1) tu hai $x^2+x+1$ ma a te nel tuo anello K interessa il resto e t spiego subito il perchè:
$(x^2+x+1)/(x^2+x-1)=1$ con resto $2$ ma allora hai che $x^2+x+1= 2+ t(x^2+x-1)$ con $t=1$ ma in K $t(x^2+x-1)=0$ quindi $x^2+x+1=2$ a livello di classi di equivalenza quindi in reltà quel polinomio già c'è ed è contenuto nella classe di resto $[2]$!!!
2)hai la condizione $x^2=-x+1$ e allora $x^2+x+1=-x+1+x+1=2$ quindi, di nuovo, in K $x^2+x+1=2$
1) tu hai $x^2+x+1$ ma a te nel tuo anello K interessa il resto e t spiego subito il perchè:
$(x^2+x+1)/(x^2+x-1)=1$ con resto $2$ ma allora hai che $x^2+x+1= 2+ t(x^2+x-1)$ con $t=1$ ma in K $t(x^2+x-1)=0$ quindi $x^2+x+1=2$ a livello di classi di equivalenza quindi in reltà quel polinomio già c'è ed è contenuto nella classe di resto $[2]$!!!
2)hai la condizione $x^2=-x+1$ e allora $x^2+x+1=-x+1+x+1=2$ quindi, di nuovo, in K $x^2+x+1=2$
Chiarissimo, ora ho capito. Grazie ad entrambi.
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