Costruire i campi di spezzamento con estensioni successive

[Platone2]

Riporto quanto trovo scritto nel libro Algebra di Pietro Di Martino.

Sia $f(x)$ irriducibile di grado $n$ in $\mathbb{K}[x]$ e sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha_1,...,\alpha_n)$ il campo di spezzamento di $f(x)$. Possiamo costruirci il campo $\mathbb{E}$ con una serie di estensioni semplici consecutive, ovvere aggiungendo una radice alla volta:
$\mathbb{K}\subset\mathbb{\mathbb{K}(\alpha_1)\subset \mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\subset ... \subset \mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2...,\alpha_n)=\mathbb{E}$
infatti essendo $f(x)$ irriducubile in $\mathbb{K}[x]$, allora $\mathbb{K}(\alpha_1)\cong {\mathbb{K}[x]}/{(f(x))}$ l'estensione ha grado $n$ uguale al polinomio minimo di $\alpha_1$. Inoltre $f(x)=(x-\alpha_1)g(x)$ in $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$ e
$\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\cong {\mathbb{K}(\alpha_1)[x]}/{(g(x))}$.
In questo caso non è detto che $g(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$ e quindi possiamo dire solamente che il grado dell'estensione è minore o uguale a $n-1$.

Non mi torna la seguente cosa: come può $g(x)$ non essere irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$?
O meglio, se è vero (e anche su questo chiedo conferma, perchè magari è qui l'errore, se c'è) che $\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\cong {\mathbb{K}(\alpha_1)[x]}/{(g(x))}$, allora ${\mathbb{K}(\alpha_1)[x]}/{(g(x))}$ è un campo, quindi $(g(x))$ è massimale, ma $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$ è un anello euclideo (con il normale grado) e quindi un PID (dominio a indeali principali) e in un PID un ideale $(d)$ è massimale sse $d$ è irriducibile.
Dove sbaglio?

[jinsang]

Ciao!

Sinceramente sono un po' arrugginito su questo argomento, ma ti dico come si potrebbe aggiustare secondo me il discorso riportato dal tuo libro di algebra.

Una volta che hai aggiunto $\alpha_1$ al tuo campo $\mathbb{K} $ vuoi trovare il grado dell'estensione $[\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2):\mathbb{K}(\alpha_1)]$.

Quindi vuoi trovare il grado del polinomio minimo di $\alpha_2$ in $mathbb{K}(\alpha_1)[x]$, chiamiamolo $\mu_(\alpha_2)(x)$.

Ma ora sai che in $mathbb{K}(\alpha_1)$ vale la scomposizione $f(x)=(x-\alpha_1)g(x)$ e poiché $\alpha_2$ è radice di $f(x)$ deve essere radice di $g(x)$, quindi $\mu_(\alpha_2)(x)|g(x)$ e quindi il grado dell'estensione è $[\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2):\mathbb{K}(\alpha_1)]=deg(\mu_(\alpha_2)(x))<=deg(g(x))=n-1$ e abbiamo l'isomorfismo $\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2) ~=(mathbb{K}(\alpha_1)[x])/(\mu_(\alpha_2)(x))$.

Trattare tutto con cautela, perché non mi sento sicurissimo

[Platone2]

Grazie mille. Così mi torna.
Quindi come immaginavo l'errore sta in $\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2) ~=(mathbb{K}(\alpha_1)[x])/{(g(x))}$, e in questo caso non capivo come potesse $g(x)$ non essere irriducibili, mentre, con le tue notazioni, è $\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2) ~=(mathbb{K}(\alpha_1)[x])/{(\mu_(\alpha_2)(x))}$ con $\mu_(\alpha_2)(x)$ irriducibile e $\mu_(\alpha_2)(x)=g(x)$ sse $g(x)$ irriducibile.
Grazie ancora.