$\cos(2\pi/10)$ per radicali

[dan952]

L'esercizio chiede di esprimere $\cos(2\pi/10)$ per radicali. Notiamo che $\zeta_{10}+1/\zeta_{10}=2\cos(2\pi/10)$, inoltre osservo che $QQ(\zeta_{10}$ ha grado 4 su $QQ$ e l'estensione $QQ(\zeta_{10}+1/\zeta_{10}) \sub QQ(\zeta_{10})$ ha necessariamente grado due su $QQ$, quindi dovrei cercare un polinomio di grado 2 che si annulla in $\zeta_{10}+1/\zeta_{10}$. Dovrei usare gli automorfismi di Galois per trovare i coefficienti del polinomio ma al momento non mi viene in mente nulla.

[Studente Anonimo]

Il polinomio minimo di $a = zeta_{10}$ è $X^4-X^3+X^2-X+1$ quindi $a^4+a^2- a^3-a+1 = 0$, dividendo per $a^2$ abbiamo $a^2+1 -a-1/a+1/(a^2) = 0$ d'altra parte $(a+1/a)^2 = a^2+1/(a^2)+2$ quindi detto $b=a+1/a$ si ha $b^2-2-b+1=0$.

[dan952]

Sì lo so che si può fare anche così, ma la prof. aveva usato gli automorfismi, aveva considerato il sottogruppo di $Gal(QQ(\zeta_{10}),QQ) ~= ZZ_4$ di ordine 2 e calcolato $(x-(\zeta_{10}+1/\zeta_{10}))(x-\sigma(\zeta_{10}+\frac{1}{\zeta_{10}}))$, tuttavia a me viene che il sottogruppo di ordine 2 (unico) possiede l'identità e l'automorfismo che scambia $\zeta_{10}$ con il suo coniugato, probabilmente sbaglio io a calcolare il gruppo di Galois.

[Studente Anonimo]

Detto $a=zeta_{10}$, la coniugazione complessa fissa $a+1/a$ perché manda $a$ in $1/a$.

L'automorfismo che devi considerare è quello che manda $a$ in $a^3$.

[dan952]

Va bene anche l'automorfismo che manda $\zeta_{10}$ in $\zeta_{10}^7$ insomma basta che non fissa il generatore del campo, giusto?

[Studente Anonimo]

Dev'essere un generatore di Gal(zeta10).

[dan952]

Grazie ancora