Corpo, semplice domanda

[raff5184]

premetto che sto studiando per conto mio le strutture algebriche.

Nel corpo non è definita la proprietà commutativa del prodotto. Inoltre è definito l'inverso. Ma allora come è possibile scrivere, riguardo al reciproco, quanto segue?
sia $K$ un corpo
per ogni $ainK$ esiste $ a^-1: a*a^-1=a^-1*a=1$

[Sk_Anonymous]

In un corpo $K$, in generale, non vale la proprietà commutativa. Tuttavia, essa può valere per certi elementi di $K$, come nell'esempio da te riportato.

Il campo $RR$, ad esempio, è un corpo commutativo.

[raff5184]

scusa se continuo a non capire. Ma la differenza tra corpo e campo è proprio la commutatività. Quindi se ho un corpo e in + è definita anche la prorietà comm. è detto, appunto, CAMPO! e non più corpo

[zorn1]

Già, la proprietà commutativa non vale necessariamente per tutte le coppie di elementi (ma può pure essere perché i campi sono particolari corpi)... è un fatto di logica matematica, è un po' ingenua come domanda infatti...

In un corpo è però richiesto che per le particolari coppie $(a,a^(-1))$ valga la proprietà commutativa.

A riguardo sussiste un importante teorema, dovuto a Wedderburn: un corpo finito è un campo. Quindi corpi che non siano campi hanno necessariamente sostegno infinito. Un esempio notevole è il corpo dei quaternioni su $RR$.

[raff5184]

"zorn": In un corpo è però richiesto che per le particolari coppie $(a,a^(-1))$ valga la proprietà commutativa.

in poche parole si richiede la commutatività quando si ha a che fare col reciproco, altrimenti non lo si potrebbe definire?

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto se parli di commutatività in un corpo allora l'hai già definita

Non è escluso, però, che anche altri elementi commutino: ad esempip, un elemento centrale commuta con tutti gli altri elementi di $K$.