Coppia ordinata e unione disgiunta
Buonasera a tutti!
Ho appena iniziato il corso di Algebra 1 e ho incontrato 2 difficoltà:
1) Non capisco la seguente scrittura (ovvero la definizione di coppia ordinata secondo Kuratowsky):
(x,y)={{x}, {x,y}}
Per quale motiva viene definita in questo modo?
2) Non mi è ben chiaro il concetto di unione disgiunta tra 2 insiemi e quello di insieme somma per una famiglia d'insieme distinti F
Sapreste darmi una mano?
Ho appena iniziato il corso di Algebra 1 e ho incontrato 2 difficoltà:
1) Non capisco la seguente scrittura (ovvero la definizione di coppia ordinata secondo Kuratowsky):
(x,y)={{x}, {x,y}}
Per quale motiva viene definita in questo modo?
2) Non mi è ben chiaro il concetto di unione disgiunta tra 2 insiemi e quello di insieme somma per una famiglia d'insieme distinti F
Sapreste darmi una mano?
Risposte
"Filli":in linee generali per evitare un approccio intuitivo/primitivo (e ricondurre il tutto al concetto di insieme), si può definire insiemisticamente la coppia ordinata in modi diversi (tra cui alla Kuratowski), l'importante che la definizione soddisfi l'uguaglianza tra coppie ordinate..
1) Non capisco la seguente scrittura (ovvero la definizione di coppia ordinata secondo Kuratowsky):
(x,y)={{x}, {x,y}}
Per quale motiva viene definita in questo modo?
"Filli":che definizioni hai incontrato?
2) Non mi è ben chiaro il concetto di unione disgiunta tra 2 insiemi e quello di insieme somma per una famiglia d'insieme distinti F
Sapreste darmi una mano?
Riporto la parte del libro che non ho ben chiara (ho usato le parentesi quadre al posto delle graffe perché non sono riuscito a trovarle nei simboli):
"La somma o unione disgiunta di due insiemi X e Y è l'insieme
\( X\uplus Y=X\times [\spadesuit ]\cup Y\times [\heartsuit ] \)
Si ha che \( X\uplus X=X\times [\spadesuit ,\heartsuit ]\neq X=X\cup X \)
Notare che \( \spadesuit ,\heartsuit \) sono solo etichette ausiliarie che sono scelte per distinguere insiemi identici. Per una famiglia d'insiemi distinti F possiamo semplicemente definire l'insieme somma come
\( \sum_{X\in F } X=\cup X\times [X] \) con \( X\in F \)
Per qualunque famiglia \( [X\imath ]\imath \in I \) possiamo definire l'insieme somma
\( \sum_{i\in I}X\imath =\cup X\imath \times \) con \( i\in I \) "
Grazie
"La somma o unione disgiunta di due insiemi X e Y è l'insieme
\( X\uplus Y=X\times [\spadesuit ]\cup Y\times [\heartsuit ] \)
Si ha che \( X\uplus X=X\times [\spadesuit ,\heartsuit ]\neq X=X\cup X \)
Notare che \( \spadesuit ,\heartsuit \) sono solo etichette ausiliarie che sono scelte per distinguere insiemi identici. Per una famiglia d'insiemi distinti F possiamo semplicemente definire l'insieme somma come
\( \sum_{X\in F } X=\cup X\times [X] \) con \( X\in F \)
Per qualunque famiglia \( [X\imath ]\imath \in I \) possiamo definire l'insieme somma
\( \sum_{i\in I}X\imath =\cup X\imath \times \) con \( i\in I \) "
Grazie
1) bim (al cui interno trovi anche i link per bum e bam)
2) C'era una barzelletta piuttosto triste che mi raccontavano da piccolo. "Un carabiniere incontra un maresciallo che gli lascia mille lire chiedendogli di andare a comprare le sigarette. Per strada incontra un brigadiere, che gli lascia mille lire chiedendogli di andare a comprare il giornale. Arrivato dal tabaccaio il carabiniere va vistosamente nel panico ed inizia a sudare e ad agitarsi. «Che succede?», domanda il tabaccaio. «Non ricordo più quali erano le mille lire del maresciallo e quali quelle del brigadiere»". Questo, oltre a spiegare buona parte dei miei disturbi mentali aiuta a capire bene come funzioni un'unione disgiunta: hai due insiemi, li vuoi mettere assieme assicurandoti di distinguere gli elementi di uno dagli elementi dell'altro quando sarà tutto nel calderone. Finché gli insiemi son disgiunti è tutto facile, se sai da dove provengono gli oggetti fai la solita unione; ma se la loro intersezione non è vuota non basta fare l'unione altrimenti perdi la provenienza degli elementi. La definizione di unione disgiunta è l'espediente per distinguere le mille lire del maresciallo da quelle del brigadiere. Per ora prendila così. Fai un po' di algebra e torna a porti la domanda tra sei mesi o un anno. A quel punto risponditi dicendo che questo grafico:
descrive la proprietà universale della somma diretta e capirai che l'espediente che ti è stato spiegato fa bene il suo sporco lavoro.
PS qual è il testo in questione?
2) C'era una barzelletta piuttosto triste che mi raccontavano da piccolo. "Un carabiniere incontra un maresciallo che gli lascia mille lire chiedendogli di andare a comprare le sigarette. Per strada incontra un brigadiere, che gli lascia mille lire chiedendogli di andare a comprare il giornale. Arrivato dal tabaccaio il carabiniere va vistosamente nel panico ed inizia a sudare e ad agitarsi. «Che succede?», domanda il tabaccaio. «Non ricordo più quali erano le mille lire del maresciallo e quali quelle del brigadiere»". Questo, oltre a spiegare buona parte dei miei disturbi mentali aiuta a capire bene come funzioni un'unione disgiunta: hai due insiemi, li vuoi mettere assieme assicurandoti di distinguere gli elementi di uno dagli elementi dell'altro quando sarà tutto nel calderone. Finché gli insiemi son disgiunti è tutto facile, se sai da dove provengono gli oggetti fai la solita unione; ma se la loro intersezione non è vuota non basta fare l'unione altrimenti perdi la provenienza degli elementi. La definizione di unione disgiunta è l'espediente per distinguere le mille lire del maresciallo da quelle del brigadiere. Per ora prendila così. Fai un po' di algebra e torna a porti la domanda tra sei mesi o un anno. A quel punto risponditi dicendo che questo grafico:
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Coproduct-03.svg[/img]
descrive la proprietà universale della somma diretta e capirai che l'espediente che ti è stato spiegato fa bene il suo sporco lavoro.
PS qual è il testo in questione?
Vi ringrazio entrambi.
Il libro è "Che cos'è un numero?" di Barbieri Viale.
Per quanto riguarda 1) penso di aver capito meglio ora, anche se non mi è ancora completamente chiaro ma ci ritornerò più avanti. Per il 2) idem, però se mi fosse richiesto di fare un esercizio sull'unione disgiuntiva non saprei da dove partire; non è che potresti farmi un esempio pratico?
Il libro è "Che cos'è un numero?" di Barbieri Viale.
Per quanto riguarda 1) penso di aver capito meglio ora, anche se non mi è ancora completamente chiaro ma ci ritornerò più avanti. Per il 2) idem, però se mi fosse richiesto di fare un esercizio sull'unione disgiuntiva non saprei da dove partire; non è che potresti farmi un esempio pratico?
"Filli":ok, per la somma (unione) disgiunta mi ritrovo le tue stesse definizioni, io come simboli ausiliari utilizzavo \(1\) e \(2\) avendo così $$ X \uplus Y:= (X \times \{1\}) \cup (Y \times \{2\})$$ e il concetto mi serviva nell'ambito della cardinalità etc etc... se volessi generalizzare a più insiemi \(\{X_1,X_3,...,X_n\}\) semplicemente diventa $$\biguplus \{X_1,X_3,...,X_n\}:= \bigcup_{i \in \{1,2,...,n\}} (X_i \times \{i\})$$ altre volte trovavo
Riporto la parte del libro che non ho ben chiara (ho usato le parentesi quadre al posto delle graffe perché non sono riuscito a trovarle nei simboli):
"La somma o unione disgiunta di due insiemi X e Y è l'insieme
\( X\uplus Y=X\times [\spadesuit ]\cup Y\times [\heartsuit ] \)
\(X \sqcup Y \) ( o: \( X+Y\) o \(X \dot{\cup} Y\))
\(\displaystyle\bigsqcup\{X_1,X_3,...,X_n\}\) (o: \(\displaystyle\sum \{X_1,X_2,...,X_n\}\) o \(\displaystyle\bigcup_{}^{\cdot} \{X_1,X_3,...,X_n\}\))
al posto dei simboli sopra definiti"Filli":su questo non ci piove
Si ha che \( X\uplus X=X\times [\spadesuit ,\heartsuit ]\neq X=X\cup X \)
"Filli":tu usi più in là una famiglia di indici e la cosa è più generale rispetto a me che uso prima \( \{1,2\}\) e dopo \( \{1,2,...,n\}\)
Notare che \( \spadesuit ,\heartsuit \) sono solo etichette ausiliarie che sono scelte per distinguere insiemi identici.
"Filli":la prima mi sembra strana*, la seconda mi sembra quella che ho scritto sopra con \(I=\{1,2,...,n\}\)..
Per una famiglia d'insiemi distinti F possiamo semplicemente definire l'insieme somma come
\( \sum_{X\in F } X=\cup X\times [X] \) con \( X\in F \)
Per qualunque famiglia \( [X\imath ]\imath \in I \) possiamo definire l'insieme somma
\( \sum_{i\in I}X\imath =\cup X\imath \times \) con \( i\in I \) "
Se vuoi degli esempi prova con \( X=\{a,b,c\}\) e \( Y=\{c,d\}\), e facci sapere
[size=50]*o forse no, devo vedere meglio appena torno a casa [/size]
edit: mi soffermo su
"Filli":se avessi \( F =\{\{a,b\},\{c,d\}\}\), allora $$\sum_{X \in F}X= \bigcup_{X \in F}(X \times \{X\})=(\{a,b\}\times \{\{a,b\}\}) \cup ( \{c,d\} \times \{\{c,d\}\})=\{(a,\{a,b\}),(b,\{a,b\}),(c,\{c,d\}),(d,\{c,d\})\}$$ confermi? Se si, allora mi sembra che si sta usando \( F \) come insieme di indici applicando la definizione di somma disgiunta.. se è così veramente devo ammettere che mai ho incontrato quest'ultimo caso (devo riuscire a trovare il libro..
\( \sum_{X\in F } X=\cup X\times [X] \) con \( X\in F \)
) Ciao
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