Controvariante spettri di anelli unitari

[Raphael1]

Ciao! stavo studiando algebra, e ho appena finito di fare un esercizio in cui mi veniva chiesto di dimostrare che dato un omomorfismo di anelli $phi:A rightarrow B$ e considerati i loro spettri (insieme contentente gli ideali primi propri dell'anello) $Spec(A)=:X, Spec(B)=:Y$, $phi$ induce in modo naturale un funtore controvariante $phi^{star}:Y rightarrow X$ (tale che $forall p in Y, p mapsto phi^{-1}(p)$) dalla categoria degli anelli commutativi unitari alla categoria degli spazi topologici.

Finito di dimostrarlo mi sono chiesto: ma vale la stessa cosa se al posto di prendere gli spettri contenenti gli ideali primi propri degli anelli considero $Specm(A),Specm(B)$ definiti come gli insiemi contenenti gli ideali massimali dell'anello? solo che non so darmi una risposta, qualcuno mi saprebbe rispondere?

[ficus2002]

"Raphael":Finito di dimostrarlo mi sono chiesto: ma vale la stessa cosa se al posto di prendere gli spettri contenenti gli ideali primi propri degli anelli considero $Specm(A),Specm(B)$ definiti come gli insiemi contenenti gli ideali massimali dell'anello? solo che non so darmi una risposta, qualcuno mi saprebbe rispondere?

No, perchè la controimmagine di un ideale massimale non è, in generale, un ideale massimale. (Esempio: $A=ZZ$, $B=QQ$, $fr n=(0)$).

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Il fatto di prendere gli ideali primi (quindi lo spec) e non quelli massimali (lo "specmax") è proprio dovuto al fatto che nel primo caso si ha la funtorialità, nel secondo no