Controllare se è un sottospazio vettoriale
Salve a tutti , mi sto imbattendo sulla matematica lineare e sugli spazi vettoriali.
Nello specifico stavo eseguendo un esercizio che ho capito a metà, vediamo se potete aiutarmi voi.
Devo controllare se T sia un sottospazio di \(\displaystyle R^3 \)
\(\displaystyle T={(1,a,b)|a,b € R} \)
So che è molto banale, ma vorrei che mi confermiate quello che scrivo facendo l'esercizio.
Per controllare se T è un sottospazio vettoriale devo controllare se
1) Esiste l'elemento neutro
2) T è chiuso rispetto alla somma
3) T è chiuso rispetto al prodotto.
1) in questo caso non esiste l'elemento neutro in quanto non esiste la terzina (0,0,0) avendo come primo termine della terzina 1 ; e quindi anche se presi a = 0 , b = 0 , ci viene fuori la terzina (1,0,0) che è diversa da (0,0,0).
2) Non è chiusa rispetto al prodotto perchè : presi \(\displaystyle (1,x1,y1) + (1,x2,y2) \) , per la proprietà commutativa e associativa diventa \(\displaystyle (2 , x1+x2 , y1+y2) \)e 2 in questo caso non appartiene piu a T.
3) Non è chiusa rispetto al prodotto, ma perchè?
Se prendo alfa appartenente a K , e pongo \(\displaystyle alfa(1,x1,y1) \) ----> ciò diventa \(\displaystyle (1alfa , alfax1, alfay1) \) ma per me appartiene sempre a t, presa uno scalare.
Dove sbaglio? Grazie a tutti
Nello specifico stavo eseguendo un esercizio che ho capito a metà, vediamo se potete aiutarmi voi.
Devo controllare se T sia un sottospazio di \(\displaystyle R^3 \)
\(\displaystyle T={(1,a,b)|a,b € R} \)
So che è molto banale, ma vorrei che mi confermiate quello che scrivo facendo l'esercizio.
Per controllare se T è un sottospazio vettoriale devo controllare se
1) Esiste l'elemento neutro
2) T è chiuso rispetto alla somma
3) T è chiuso rispetto al prodotto.
1) in questo caso non esiste l'elemento neutro in quanto non esiste la terzina (0,0,0) avendo come primo termine della terzina 1 ; e quindi anche se presi a = 0 , b = 0 , ci viene fuori la terzina (1,0,0) che è diversa da (0,0,0).
2) Non è chiusa rispetto al prodotto perchè : presi \(\displaystyle (1,x1,y1) + (1,x2,y2) \) , per la proprietà commutativa e associativa diventa \(\displaystyle (2 , x1+x2 , y1+y2) \)e 2 in questo caso non appartiene piu a T.
3) Non è chiusa rispetto al prodotto, ma perchè?
Se prendo alfa appartenente a K , e pongo \(\displaystyle alfa(1,x1,y1) \) ----> ciò diventa \(\displaystyle (1alfa , alfax1, alfay1) \) ma per me appartiene sempre a t, presa uno scalare.
Dove sbaglio? Grazie a tutti
Risposte
Precisazioni:
Si chiama "Algebra lineare", non "Matematica Lineare".
Veniamo a noi:
Se $V$ è un $K$ aspazio vettoriale, un $U \subset V$ non vuoto è un sottospazio vettoriale se U è uno spazio vettoriale su $K$ mediante le operazioni indotte da V su U.
Si prova che $U$ è un sottospazio se e solo se $(U,+)$ è un sottogruppo di $(V,+)$ e se è chiuso rispetto al prodotto di vettore per scalare.
Ancora, si prova che $U$ è un sottospazio se e solo se $U$ è chiuso rispetto alle due operazioni.
Ancora, tutto ciò è equivalente a dire che $U$ è un sottospazio se e solo se $\alpha * x + \beta y \in U$ , con $\alpha,\beta \in K$ e $x,y$vettori generici.
Considerando questi fatti ti rendi conto facilmente che, necessariamente, se $U$ è un sottospazio allora contiene lo zero di $V$.
Quindi, negando questa affermazione, ottieni che se lo zero non vi appartiene allora l'insieme considerato non puo' trattarsi di un sottospazio.
Pertanto potevi fermarti già al punto a) del tuo esercizio.
Non esistono $a,b$ tali che $(a,1,1)=(0,0,0)$ perché altrimenti avresti $1=0$, che è un assurdo.
Ti basta per dire che $T$ non è un sottospazio.
Si chiama "Algebra lineare", non "Matematica Lineare".
Veniamo a noi:
Se $V$ è un $K$ aspazio vettoriale, un $U \subset V$ non vuoto è un sottospazio vettoriale se U è uno spazio vettoriale su $K$ mediante le operazioni indotte da V su U.
Si prova che $U$ è un sottospazio se e solo se $(U,+)$ è un sottogruppo di $(V,+)$ e se è chiuso rispetto al prodotto di vettore per scalare.
Ancora, si prova che $U$ è un sottospazio se e solo se $U$ è chiuso rispetto alle due operazioni.
Ancora, tutto ciò è equivalente a dire che $U$ è un sottospazio se e solo se $\alpha * x + \beta y \in U$ , con $\alpha,\beta \in K$ e $x,y$vettori generici.
Considerando questi fatti ti rendi conto facilmente che, necessariamente, se $U$ è un sottospazio allora contiene lo zero di $V$.
Quindi, negando questa affermazione, ottieni che se lo zero non vi appartiene allora l'insieme considerato non puo' trattarsi di un sottospazio.
Pertanto potevi fermarti già al punto a) del tuo esercizio.
Non esistono $a,b$ tali che $(a,1,1)=(0,0,0)$ perché altrimenti avresti $1=0$, che è un assurdo.
Ti basta per dire che $T$ non è un sottospazio.
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