Contrazioni
chi ha voglia di studiare con me (nel senso di inventarsi qualche teoremuccio) le contrazioni?
Sia $(P, \leq)$ un poset (insieme parzialmente ordinato) finito, allora una funzione $c: P \rightarrow P$ si dice contrazione se per
ogni $p$, $q \in P$
Sia $(P, \leq)$ un poset (insieme parzialmente ordinato) finito, allora una funzione $c: P \rightarrow P$ si dice contrazione se per
ogni $p$, $q \in P$
- (riduzione) $c(p) \leq p$
(monotonia) se $p \leq q$ allora $c(p) \leq c(q)$[/list:u:3w0nbr5o]
Risposte
Ma negli spazi metrici non corrispondono le contrazioni 
Mi pare che intervenisse una costante <1, quindi in qualche modo bisogna valutare con il campo reale due punti dell'insieme...
Con questa definizione non so quando potrebbe valere un teorema di punto fisso (penso questo sia uno dei maggiori interessi)...
Mi pare che intervenisse una costante <1, quindi in qualche modo bisogna valutare con il campo reale due punti dell'insieme...
Con questa definizione non so quando potrebbe valere un teorema di punto fisso (penso questo sia uno dei maggiori interessi)...
no, gli spazi metrici in questa situazione non centrano
si parla solo di poset e morfismi d'ordine
ogni contrazione come definita la sopra ha almeno un punto fisso, in effetti tutti i punti minimali di P sono fissi.
si parla solo di poset e morfismi d'ordine
ogni contrazione come definita la sopra ha almeno un punto fisso, in effetti tutti i punti minimali di P sono fissi.
Prima un pò di notazioni
Si indica con $Fix(c)$ l'insieme dei punti fissi
$Fix(c) = \{p \in P | c(p) = p\}$
Siano $a$, $b \in P$, si indica con $m(a, b)$ l'insieme
$m(a, b) = \uparrow{a} \cap \uparrow{b}$
dove $\uparrow{a} = \{p \in P | a \leq p\}$
e indichiamo l'insieme dei minimali di un insieme $X$ con $\underline{X}$
Per ora io penso di aver dimostrato questi due:
Proposizione. Sia $c: P \rightarrow P$ una contrazione e $F = Fix(c)$. Allora $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\underline{m(a, b)} \subseteq F$.
Viceversa
Proposizione. Sia $F \subseteq P$ tale che $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\minimali{m(a, b)} \subseteq F$. Allora esiste una contrazione $c: P \rightarrow P$ con $Fix(c) = F$.
Si indica con $Fix(c)$ l'insieme dei punti fissi
$Fix(c) = \{p \in P | c(p) = p\}$
Siano $a$, $b \in P$, si indica con $m(a, b)$ l'insieme
$m(a, b) = \uparrow{a} \cap \uparrow{b}$
dove $\uparrow{a} = \{p \in P | a \leq p\}$
e indichiamo l'insieme dei minimali di un insieme $X$ con $\underline{X}$
Per ora io penso di aver dimostrato questi due:
Proposizione. Sia $c: P \rightarrow P$ una contrazione e $F = Fix(c)$. Allora $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\underline{m(a, b)} \subseteq F$.
Viceversa
Proposizione. Sia $F \subseteq P$ tale che $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\minimali{m(a, b)} \subseteq F$. Allora esiste una contrazione $c: P \rightarrow P$ con $Fix(c) = F$.
"yinyang":
Proposizione. Sia $c: P \rightarrow P$ una contrazione e $F = Fix(c)$. Allora $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\underline{m(a, b)} \subseteq F$.
Carina, e certamente vera.
"yinyang":
Proposizione. Sia $F \subseteq P$ tale che $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\minimali{m(a, b)} \subseteq F$. Allora esiste una contrazione $c: P \rightarrow P$ con $Fix(c) = F$.
Questo non e' vero. Prendi $F=\emptyset$ e come $P$ un poset in cui ogni contrazione ha punti fissi.
EDIT: Però a questo punto la domanda è: se $P$ è un poset in cui ogni contrazione ha punti fissi, $P$ ha elementi minimali? Se è vero, il mio "controesempio" non esiste.
Cosa si intende con $a||b$?
"TomSawyer":
Cosa si intende con $a||b$?
Significa che $a$ e $b$ non sono in relazione (credo)
Sì che gli elementi minimali siano punti fissi non c'è dubbio, per il resto devo pensarci.
Ok, ho dimostrato che
Proposizione. Esiste un poset $P$ tale che ogni contrazione di $P$ ha un punto fisso, ma $P$ non ha elementi minimali.
Lascio la dimostrazione per esercizio.
Dunque questa proposizione
è falsa (come ho spiegato sopra)
Proposizione. Esiste un poset $P$ tale che ogni contrazione di $P$ ha un punto fisso, ma $P$ non ha elementi minimali.
Lascio la dimostrazione per esercizio.
Dunque questa proposizione
"yinyang":
Proposizione. Sia $F \subseteq P$ tale che $\underline{P} \subseteq F$ e per ogni $a$, $b \in F$, con $a || b$, $\minimali{m(a, b)} \subseteq F$. Allora esiste una contrazione $c: P \rightarrow P$ con $Fix(c) = F$.
è falsa (come ho spiegato sopra)
Ciao Fields
non mi è chiaro quello che hai scritto
ogni poset P ha sempre almeno un punto minimale e dunque F non può essere vuoto.
non mi è chiaro quello che hai scritto
ogni poset P ha sempre almeno un punto minimale e dunque F non può essere vuoto.
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_order
In particolare $(ZZ,<=)$ e' un poset, senza elementi minimali.
In particolare $(ZZ,<=)$ e' un poset, senza elementi minimali.
"fields":
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_order
In particolare $(ZZ,<=)$ e' un poset, senza elementi minimali.
ah cavoli! perdonami, nella difficoltà a fare i primi post con LaTex mi sono dimenticato
che sto trattando contrazioni su poset finiti
sorry
vado a correggere il primo post!
Sia $(P, \leq)$ un poset finito, allora una funzione $c: P \rightarrow P$ si dice contrazione se per
ogni $p$, $q \in P$
ogni $p$, $q \in P$
- (riduzione) $c(p) \leq p$
(monotonia) se $p \leq q$ allora $c(p) \leq c(q)$[/list:u:1mrxrsvx]
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