Contare permutazioni..
Salve, vorrei sapere se esiste una regola generale per contare il numero di elementi di[tex]S_n[/tex]distinti del tipo
[tex](1,\dots,k)(k+1,\dots,k+j)\dots(k+j+\dots+r+1,\dots,k+j+\dots+r+s)[/tex]
dove non necessariamente [tex]k\ne j\ne \dots \ne s[/tex]
Ok..forse la notazione è brutta ma ad ogni modo vorrei sapere un modo per contare quanti elementi si [tex]S_n[/tex]distinti possono essere scritti come prodotto di cicli disgiunti in numero e lunghezza fissati tenendo conto che vi possono essere più cicli della stessa lunghezza.
So che esistono [tex]\frac{n!}{k\cdot(n-k)!}[/tex] cicli distinti di ordine [tex]k[/tex] ma non so come generalizzare il tutto.
Il tutto per calcolare la cardinalità dell'orbita di un dato elemento di [tex]S_n[/tex] scritto come prodotto dei suoi cicli disgiunti.
Grazie mille.
[tex](1,\dots,k)(k+1,\dots,k+j)\dots(k+j+\dots+r+1,\dots,k+j+\dots+r+s)[/tex]
dove non necessariamente [tex]k\ne j\ne \dots \ne s[/tex]
Ok..forse la notazione è brutta ma ad ogni modo vorrei sapere un modo per contare quanti elementi si [tex]S_n[/tex]distinti possono essere scritti come prodotto di cicli disgiunti in numero e lunghezza fissati tenendo conto che vi possono essere più cicli della stessa lunghezza.
So che esistono [tex]\frac{n!}{k\cdot(n-k)!}[/tex] cicli distinti di ordine [tex]k[/tex] ma non so come generalizzare il tutto.
Il tutto per calcolare la cardinalità dell'orbita di un dato elemento di [tex]S_n[/tex] scritto come prodotto dei suoi cicli disgiunti.
Grazie mille.
Risposte
Prendi il primo ciclo, poi è come se prendessi un ciclo in $S_{n-k}$ e così via... Alla fine moltiplica tutti i numeri.
Ma se nel prodotto di cicli compaiono più cicli della stessa lunghezza usando quella formula non si conta più volte la stessa permutazione?
In un esercizio il mio prof. divise ulteriormente per 2 quando in un ciclo comparivano due trasposizioni..e penso ci sia una regola generale che non conosco..
In un esercizio il mio prof. divise ulteriormente per 2 quando in un ciclo comparivano due trasposizioni..e penso ci sia una regola generale che non conosco..
"aleio1":
Ma se nel prodotto di cicli compaiono più cicli della stessa lunghezza usando quella formula non si conta più volte la stessa permutazione?
In un esercizio il mio prof. divise ulteriormente per 2 quando in un ciclo comparivano due trasposizioni..e penso ci sia una regola generale che non conosco..
Hai ragione avevo ignorato quel caso. Il fatto è che il mio modo li contava 2-6-...-n! volte a seconda se c'erano 2,3,...n m-cicli... Ci devo pensare...
divido in ognuno di questi casi per $m!$ ?
Qualcuno ha qualche idea?
"aleio1":
divido in ognuno di questi casi per $m!$ ?
Se $m$ è la lunghezza del ciclo no, se è il numero di $n$-cicli allora si.
si perfetto:) grazie mille..comunque si intendevo il numero di cicli:)
grazie ancora
grazie ancora
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