Contare i prodotti di cicli in Sn
Ciao. Si sa che el gruppo simmetrico Sn gli r-cicli sono in mumero $ (1 / r ) * ((n! ) / ((n-r)!)) $ . Ma c'è anche una formula per contare i prodotti di cicli? Ad esempio in S4, tramite la formula precedente, so che esistono $ 6 $ 2-cicli; so anche che esistono 3 permutazioni fomati da prodotti di 2-cicli. Ma con quale formula posso arrivare a dire questo? Grazie.
Risposte
Nel caso di [tex]S_4[/tex] e' facile, dato che il prodotto di due 2-cicli disgiunti e' determinato dall'immagine di 1 (chiaro: per esempio l'unico prodotto di due 2-cicli disgiunti che manda 1 in 3 e' (13)(24), eccetera), quindi tali elementi sono tanti quante sono le possibili immagini di 1, cioe' tre (1 puo' andare in 2, in 3 oppure in 4).
Il caso generale e' piu' difficile ed interessante.
Per esempio: in [tex]S_{2k}[/tex] quanti sono gli elementi con struttura ciclica [tex]2^k[/tex]? Ricordo che me l'ero domandato ma non avevo trovato una risposta.
Il caso generale e' piu' difficile ed interessante.
Per esempio: in [tex]S_{2k}[/tex] quanti sono gli elementi con struttura ciclica [tex]2^k[/tex]? Ricordo che me l'ero domandato ma non avevo trovato una risposta.
Si effettivamente in S4 è molto facile. Anche se in un esercizio svolto per calcolare quanti prodotti di 2-cicli ci sono fa questo conto: $ ( ( 4 ),( 2) ) * ( ( 2 ),( 2) ) * 1 / 2 = 3 $ (con quelle matrici 2x1 intendo il binomiale). Ed effettivamente i S4 ci sono 3 permutazioni formate dal prodotto di 2-cicli. Ma da dove lo prende questo conto?
Ah no scusa mi devo essere confuso con qualcos'altro, questo problema non e' difficile.
La formula generale per il numero di elementi di struttura ciclica [tex]2^k[/tex] in [tex]S_{2^k}[/tex] e' [tex]\frac{1}{k!} \binom{2k}{2} \binom{2k-2}{2} ... \binom{2}{2}[/tex]. In pratica scegli brutalmente le trasposizioni (mettendole implicitamente in un qualche ordine) e poi ti dimentichi dell'ordine dividendo per il fattoriale del numero di trasposizioni.
La formula generale per il numero di elementi di struttura ciclica [tex]2^k[/tex] in [tex]S_{2^k}[/tex] e' [tex]\frac{1}{k!} \binom{2k}{2} \binom{2k-2}{2} ... \binom{2}{2}[/tex]. In pratica scegli brutalmente le trasposizioni (mettendole implicitamente in un qualche ordine) e poi ti dimentichi dell'ordine dividendo per il fattoriale del numero di trasposizioni.
E in S5 come posso contare il numero di permutazioni prodotti di 2-cicli? E quelle prodotto di un 2-ciclo e di un 3-ciclo?
"18Gigia18":Tu come faresti? Prova a pensarci, non e' difficile.
E in S5 come posso contare il numero di permutazioni prodotti di 2-cicli? E quelle prodotto di un 2-ciclo e di un 3-ciclo?
Quella per calcolare i prodotti di 2-cicli presumo sia: $ 1 / (2!) * ( ( 5 ),( 2) ) * ( ( 3 ),( 2) ) $ . Ma non riesco a ricavare quella per calcolare i prodotti misti di un 2-ciclo e di un 3-ciclo.
"18Gigia18":Non riesci, ma io ti consigliavo di provare a pensarci un po', non e' difficile. Considera che se un elemento di [tex]S_5[/tex] ha struttura ciclica (3,2) il 3-ciclo della sua decomposizione determina univocamente il 2-ciclo. Prova a ragionare su questo.
Quella per calcolare i prodotti di 2-cicli presumo sia: $ 1 / (2!) * ( ( 5 ),( 2) ) * ( ( 3 ),( 2) ) $ . Ma non riesco a ricavare quella per calcolare i prodotti misti di un 2-ciclo e di un 3-ciclo.
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