Consiglio per un curioso.
Buona giornata.
È da tempo che mi sto interessando di logica matematica e di teoria degli insiemi. Ultimamente ho letto che ci sono numerose teorie assiomatiche tra le quali ZF(C), NGB, MK e TG a rimpiazzare quella intuitiva di Frege. La mia domanda è quindi: quale scegliere? Voi quale usate? E perchè?
Però prima vi dico gli ambiti in cui mi muovo. Mi sto dedicando per curiosità allo studio degli insiemi numerici $NN$, $ZZ$, $QQ$ e $RR$, ponendo particolare attenzione a quella che io chiamo "costruzione".
Ho letto però un qualcosa sul "paradosso del barbiere" che formulata in matematichese coincide con l'"antinomia di Russel". Questo segnerebbe l'incoerenza dell'impostazione intutiva degli insiemi. Poi tutte le conseguenze sui miei interessi.
Io, quindi, vorrei che mi rispondiate tenendo conto di quanto ho detto.
Grazie.
Ps: mi sono reso conto del peso dell'argomento.
È da tempo che mi sto interessando di logica matematica e di teoria degli insiemi. Ultimamente ho letto che ci sono numerose teorie assiomatiche tra le quali ZF(C), NGB, MK e TG a rimpiazzare quella intuitiva di Frege. La mia domanda è quindi: quale scegliere? Voi quale usate? E perchè?
Però prima vi dico gli ambiti in cui mi muovo. Mi sto dedicando per curiosità allo studio degli insiemi numerici $NN$, $ZZ$, $QQ$ e $RR$, ponendo particolare attenzione a quella che io chiamo "costruzione".
Ho letto però un qualcosa sul "paradosso del barbiere" che formulata in matematichese coincide con l'"antinomia di Russel". Questo segnerebbe l'incoerenza dell'impostazione intutiva degli insiemi. Poi tutte le conseguenze sui miei interessi.
Io, quindi, vorrei che mi rispondiate tenendo conto di quanto ho detto.
Grazie.
Ps: mi sono reso conto del peso dell'argomento.
Risposte
Per la maggior parte della matematica, la scelta è ininfluente e l'uso della teoria intuitiva/algebrica non crea alcun problema. Generalmente la scelta si riduce all'uso o meno dell'assioma della scelta. Detto questo, ZF è la scelta di default se non esplicitato altrimenti.
Grazie per la risposta. Avevo letto che in genere è sufficiente la teoria intuitiva. Volevo soltanto un consiglio.
Le motivazioni?.... mmmm :
- in NBG certe proofs sugli insiemi sono molto piú semplici che in ZFC
- in NBG lavori anche con classi piuttosto che solo con insiemi in ZFC (pensa agli ordinali di FREGE-RUSSEL)
- in MK lavori con classi di classi piuttosto che solo con classi di insiemi in NBG o piuttosto che solo con insiemi di insiemi in ZFC
- l assioma della scelte é presente ovunque (almeno ti parlo per ZFC e NBG, non saprei per MK.. qualcuno puó intervenire qui), ovviamente permette uguali ed altre conseguenze a seconda dell assiomatica
- in NBG hai molti bei costrutti che invece non potresti in ZFC, questo dipende dall assioma/schema di astrazione che in NBG é scritto in forma modo tale da permetterlo
io ho usato, e ti parlo da studente di fisica, per molti anni ZFC e nemmeno in modo assiomatico ma poi mi sono stancato di dover escludere certe cose e non potere usare i cardinali di frege-russel o dare notazioni in senso intuitivo.. cominciai ad usare NBG e tutto era perfetto per come volevo io.
- in NBG certe proofs sugli insiemi sono molto piú semplici che in ZFC
- in NBG lavori anche con classi piuttosto che solo con insiemi in ZFC (pensa agli ordinali di FREGE-RUSSEL)
- in MK lavori con classi di classi piuttosto che solo con classi di insiemi in NBG o piuttosto che solo con insiemi di insiemi in ZFC
- l assioma della scelte é presente ovunque (almeno ti parlo per ZFC e NBG, non saprei per MK.. qualcuno puó intervenire qui), ovviamente permette uguali ed altre conseguenze a seconda dell assiomatica
- in NBG hai molti bei costrutti che invece non potresti in ZFC, questo dipende dall assioma/schema di astrazione che in NBG é scritto in forma modo tale da permetterlo
io ho usato, e ti parlo da studente di fisica, per molti anni ZFC e nemmeno in modo assiomatico ma poi mi sono stancato di dover escludere certe cose e non potere usare i cardinali di frege-russel o dare notazioni in senso intuitivo.. cominciai ad usare NBG e tutto era perfetto per come volevo io.
Grazie mille! 
Potresti consigliarmi un testo su cui studiare in particolare.
Potresti consigliarmi un testo su cui studiare in particolare.
per del materiale diretto:
http://www.math.uni-bonn.de/ag/logik/teaching/ (qualcosa in inglese la trovi)
http://www.dm.unipi.it/~berardu/
http://www.jhtm.nl/tudelft/tw3520/Introduction_to_Mathematical_Logic.pdf
per qualche proprietá e definizione che vale anche in NBG che anche in ZFC puoi vedere anche "Axiomatic Set Theory" di Patrick Suppes
http://www.math.uni-bonn.de/ag/logik/teaching/ (qualcosa in inglese la trovi)
http://www.dm.unipi.it/~berardu/
http://www.jhtm.nl/tudelft/tw3520/Introduction_to_Mathematical_Logic.pdf
per qualche proprietá e definizione che vale anche in NBG che anche in ZFC puoi vedere anche "Axiomatic Set Theory" di Patrick Suppes
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