Consigli su come semplificare queste equazioni!

[Andrea571]

Sera, ormai è troppo che ci giro e ci rigiro, mi servirebbe il vostro aiuto nel semplificare queste equazioni, e se possibile (ma probabilmente no ) aiutarmi a risolvere il sistema . Ecco a voi:

$\{(\sum_{i=1}^{n-1} b_i=2b_ib_{n-i}+b_i+b_{n-i}-a+1),(b_i
${a,b,i,n} in NN$

$n=2a$;

$2b_a+1$ non deve essere primo.

Il sistema è molto complesso, me ne rendo conto, ma mi aiuterebbe molto in ciò che sto' facendo
Cerco solo dei consigli su come semplificare, su come procedere a risolverla, oppure la sua non-risolvibilità

[Stellinelm]

Ciao Andrea, mi sa che in linea (sulla linea in basso non vedo nessun'altro in linea)
ci sono solo io e purtroppo non so aiutarti
Metti in standy by gli esercizi... magari domani a mente fresca ci riesci da solo oppure trovi qualcuno più competente

[ot]Buona notte Andrea [/ot]

[Stellinelm]

Aspetta , adesso vedo qualcun'altro in linea...

[Andrea571]

"Stellinelm":Ciao Andrea, mi sa che in linea (sulla linea in basso non vedo nessun'altro in linea)
ci sono solo io e purtroppo non so aiutarti
Metti in standy by gli esercizi... magari domani a mente fresca ci riesci da solo oppure trovi qualcuno più competente

[ot]Buona notte Andrea [/ot]

Tranqui, l'ho postato solo per vedere se qualcuno prima o poi avrà un idea, perché ho questo sistema sul quaderno da 1 mese preciso ormai

[ot]Notte anche a te [/ot]

[TheKangaroo]

Si tratta quindi di risolvere il sistema (sostituendo n-1 con n per praticità):

\begin{cases}
\sum_{i=1}^{n}b_{i}=c-a+1\\
2b_{1}b_{n}+b_{1}+b_{n}=c\\
2b_{a}(b_{a}+1)=c\\
2b_{a-1}b_{a+1}+b_{a-1}+b_{a+1}=c\\
n=2a-1
\end{cases}

con $b_1
Ad occhio non mi sembra facile dire tutte le soluzioni, aiuterebbe di più dire a cosa si riferisce

[Andrea571]

"TheKangaroo":Si tratta quindi di risolvere il sistema (sostituendo n-1 con n per praticità):

\begin{cases}
\sum_{i=1}^{n}b_{i}=c-a+1\\
2b_{1}b_{n}+b_{1}+b_{n}=c\\
2b_{a}(b_{a}+1)=c\\
2b_{a-1}b_{a+1}+b_{a-1}+b_{a+1}=c\\
n=2a-1
\end{cases}

con $b_1
Ad occhio non mi sembra facile dire tutte le soluzioni, aiuterebbe di più dire a cosa si riferisce

Ho aggiornato il sistema: ho praticamente eliminato la 2°,3°,e 4° equazione, generalizzandola: noterai infatti che $1+n-1=n, 2+n-2=n$ etcetera. Quando $h$ ed $l$ saranno equivalenti, saranno quindi a metà, e sarà della forma $2b_a^2+2b_a=c$, infatti $a = n/2, e n/2+n/2=n$

P.S.
è meglio lasciare $n-1$, per evitare micro-casini (non è cosi semplice, dovrei riguardare tutto il sistema, da capo, e riscriverlo, anche se non sembra) , e nel tuo sistema hai dimenticato di mettere che $b_i

P.P.S.
Non è detto che sia risolvibile: ma ne sarei equalmente felice (mi serve per dimostrare l'esistenza o la non esistenza di un numero)

[TheKangaroo]

Ok, come l'hai riscritto le richieste sono più forti. Si può sistemare un po', ti dico come farei:
tornando alla tua notazione abbiamo: $2b_ib_{n-i}+b_i+b_{n-i}=c$ che è come dire:
$(2b_i+1)(2b_{n-i})+1=2c+1$. Quindi farei una sostituzione del tipo:
$h_i=2b_i+1$ e così il nuovo sistema diventa:
$\sum_{i=1}^{n-1}h_{i}=h_ih_{n-i}=2c+1$
Con $h_1 Quindi tutti gli $h_i$ sono divisori di $2c+1$, e sono tutti diversi.
Escludendo che $2c+1$ sia un numero perfetto dispari ( in tal caso non credo di poterti aiutare a trovare una soluzione...) segue che è un numero abbondante dispari, e poichè $n-1$ è dispari sappiamo che $h_{n/2}^2=2c+1$ e quindi $2c+1$ è un quadrato, (e questo direi che esclude l'ipotesi del numero perfetto dispari se ricordo bene, ma potrei benissimo sbagliarmi).
Inoltre $2c+1$ è un numero pseudoperfetto, ed ecco qua un elenco di quelli primitivi: http://oeis.org/A006036. Te ne serve uno dispari che sia un quadrato, ma che sopratutto abbia la caratteristica che il sottoinsieme proprio di divisori la cui somma è pari a $2c+1$ sia nella forma richiesta dal sistema.
Qui si ferma la mia analisi, ma non mi sembra un problema facile. Non so se ti ho aiutato o se invece questo era il punto di partenza...

[Andrea571]

"TheKangaroo":Ok, come l'hai riscritto le richieste sono più forti. Si può sistemare un po', ti dico come farei:
tornando alla tua notazione abbiamo: $2b_ib_{n-i}+b_i+b_{n-i}=c$ che è come dire:
$(2b_i+1)(2b_{n-i})+1=2c+1$. Quindi farei una sostituzione del tipo:
$h_i=2b_i+1$ e così il nuovo sistema diventa:
$\sum_{i=1}^{n-1}h_{i}=h_ih_{n-i}=2c+1$
Con $h_1 Quindi tutti gli $h_i$ sono divisori di $2c+1$, e sono tutti diversi.
Escludendo che $2c+1$ sia un numero perfetto dispari ( in tal caso non credo di poterti aiutare a trovare una soluzione...) segue che è un numero abbondante dispari, e poichè $n-1$ è dispari sappiamo che $h_{n/2}^2=2c+1$ e quindi $2c+1$ è un quadrato, (e questo direi che esclude l'ipotesi del numero perfetto dispari se ricordo bene, ma potrei benissimo sbagliarmi).
Inoltre $2c+1$ è un numero pseudoperfetto, ed ecco qua un elenco di quelli primitivi: http://oeis.org/A006036. Te ne serve uno dispari che sia un quadrato, ma che sopratutto abbia la caratteristica che il sottoinsieme proprio di divisori la cui somma è pari a $2c+1$ sia nella forma richiesta dal sistema.
Qui si ferma la mia analisi, ma non mi sembra un problema facile. Non so se ti ho aiutato o se invece questo era il punto di partenza...

Leggevo la tua analisi, e man mano che leggevo pensavo "Questo ha capito quasi tutto! "
Hai compreso tutto quello che intendevo al 96-97%
Ora mi leggo pian piano la semplificazione, cerco di capire e farò sapere

[size=150]P.S.[/size]
Bene, ho controllato, buone notizie e cattive notizie

1)$2b_ib_{n-i}+b_i+b_{n-i}=c$ --> Grazie a questa, mi hai fatto eliminare i parametri $h$ ed $l$

2)$(2b_i+1)(2b_{n-i})+1=2c+1$. Quindi farei una sostituzione del tipo:
$h_i=2b_i+1$ --> Purtroppo, qui stavi già tornando al punto di partenza[size=150]*[/size] (io ho sviluppai da un pò prima di qui, per giungere al quel sistema) ;[size=150]*[/size]Questa parte la ricontrollo ancora una volta, forse non necessariamente stavi tornando indietro

3)Bravo $2c+1$ è proprio il numero che sto cercando: tuttavia, è sì un quadrato perfetto dispari, ma non è "proprio" un numero pseudoperfetto

4)che sopratutto abbia la caratteristica che il sottoinsieme proprio di divisori la cui somma è pari a $2c+1$ -->Qui hai intuito male, la somma che cerco non è $2c+1$;

5)Grazie al punto 1), ho potuto aggiornare nuovamente il sistema

[TheKangaroo]

Si infatti ripensandoci non è detto sia uno pseudoprimo perchè il termine $h_n/2$ compare due volte, e quindi nemmeno che sia abbondante. Non è nemmeno un numero perfetto perchè ho controllato, e questi non possono nemmeno essere dei quadrati. Comunque la richiesta che $2b_a+1$ non sia primo equivale a chiedere che 2c+1 non sia il quadrato di un numero primo, ma questo deve essere per forza di cose vero, altrimenti avresti $2c+1=p^2$ con p primo e $p\ne2$ che chiaramente non può dare una soluzione.
Francamente non capisco perchè tu abbia portato il sistema in quella forma, mi sembra che quella originale sia migliore. Comunque anche se non si tratta di uno pseudoperfetto è per molti versi simile, quindi al tuo posto mi documenterei sull'argomento, e su altri simili di teoria dei numeri, e se vuoi un consiglio poco matematico, cercherei delle soluzioni col calcolatore per avere un'idea di come queste siano fatte.
Se ti interessa l'argomento ci sono numerosi risultati di teoria dei numeri che possono essere compresi senza troppi prerequisiti, ma trovare delle dimostrazioni nuove per conto proprio è un'impresa parecchio ardua.
Puoi spiegare perchè sei interessato ad un numero con tali caratteristiche?

[Andrea571]

"TheKangaroo":Si infatti ripensandoci non è detto sia uno pseudoprimo perchè il termine $h_n/2$ compare due volte, e quindi nemmeno che sia abbondante. Non è nemmeno un numero perfetto perchè ho controllato, e questi non possono nemmeno essere dei quadrati. Comunque la richiesta che $2b_a+1$ non sia primo equivale a chiedere che 2c+1 non sia il quadrato di un numero primo, ma questo deve essere per forza di cose vero, altrimenti avresti $2c+1=p^2$ con p primo e $p\ne2$ che chiaramente non può dare una soluzione.
Francamente non capisco perchè tu abbia portato il sistema in quella forma, mi sembra che quella originale sia migliore. Comunque anche se non si tratta di uno pseudoperfetto è per molti versi simile, quindi al tuo posto mi documenterei sull'argomento, e su altri simili di teoria dei numeri, e se vuoi un consiglio poco matematico, cercherei delle soluzioni col calcolatore per avere un'idea di come queste siano fatte.
Se ti interessa l'argomento ci sono numerosi risultati di teoria dei numeri che possono essere compresi senza troppi prerequisiti, ma trovare delle dimostrazioni nuove per conto proprio è un'impresa parecchio ardua.
Puoi spiegare perchè sei interessato ad un numero con tali caratteristiche?

Ti dico subito perché non può essere primo:
immaginiamo $2b_a+1$ sia primo, questo vuol dire che il suo quadrato sarà divisibile solo per $2b_a+1$, ma va contro il fatto che ci siano altri innumerevoli suoi divisori

Comunque la richiesta che $2b_a+1$ non sia primo equivale a chiedere che 2c+1 non sia il quadrato di un numero primo, ma questo deve essere per forza di cose vero, altrimenti avresti $2c+1=p^2$ con p primo e $p\ne2$ che chiaramente non può dare una soluzione.

e ti rispondo:

"Andrea57":
Non è detto che sia risolvibile: ma ne sarei equalmente felice (mi serve per dimostrare l'esistenza o la non esistenza di un numero)

Se ciò che hai detto qui sopra è vero, ho concluso, e quel numero non può esistere
Devo solo leggerlo meglio, perché ancora non l'ho capito bene

P.S.
Scusami, non è che potresti rispiegarmi bene cosa intendi con la tua affermazione qui sopra?

[TheKangaroo]

Praticamente dicevo la stessa cosa che hai scritto anche te, ossia che $2b_a+1$ non può essere primo perchè altrimenti sarebbe l'unico fattore di $2c+1$ e quindi non potrebbero esserci altri termini.
Ma se anche riuscissi a dimostrare che non è risolubile, cosa ne potresti concludere poi?