Considerazioni elementari sull'ultimo Teorema di Fermat
[xdom="WiZaRd"]Le considerazioni matematiche dell'utente primogramma in questo topic sono errate.
Gli amministratori e i moderatori del forum hanno deliberato di porre questo avviso per evitare che tali affermazioni possano indurre in errore gli utenti del forum e minare la credibilità del forum stesso.
In caso di recidività verranno presi provvedimenti di sospensione dal forum.
Il presente messaggio non deve esser rimosso, pena la sospensione o il ban dal forum
Gli amministratori e i moderatori del forum.[/xdom]
CONSIDERAZIONI SULL’ ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (Parte prima)
(Si è volutamente evitato di usare il simbolo di sommatoria per consentire la lettura anche agli studenti delle medie inferiori)
Non spendo altro tempo per raccontare il velo di mistero che tutt’ora avvolge una nota affermazione di Fermat a proposito di una semplice, quanto impensabilmente insidiosa equazione:
(1) $C^X = A^X + B^X$ Fermat afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione per $X >2$
Dopo aver tentato di leggere la dimostrazione (accettata) di Sir. A.Wiles, sono sempre più convinto che Fermat, nella sua profonda conoscenza dei numeri, avesse davvero subito capito come arrivare ad una dimostrazione relativamente semplice.
Tutto sta nell’appoggiarsi a qualcosa di semplice e già dimostrato.
Cominciamo con il presentare un modo semplice per trovare almeno una tripletta (terna pitagorica) A, B,C tale per cui la (1) sia verificata con $X= 2$:
(2) $C^2 = A^2 + B^2$
Premessa: ricordiamo un semplice, ma poco noto, teorema che recita:
“La somma dei primi N numeri dispari è sempre pari ad un quadrato di lato N". Vale per N qualsiasi
Lasciamo al lettore ritrovare la dimostrazione dell’autore e ne utilizziamo l’enunciato scrivendolo quindi come:
3) $N^2 = (1+3+5+7+….D_N)$
cioè $N^2$ è uguale alla sommatoria di tutti i dispari (D) fino all’ N esimo $(D_N)$
Dato che N può essere qualsiasi, generalizzando possiamo quindi dire che (con $A
$C^2 = (1+3+5+7+….D_C)$
$B^2 = (1+3+5+….D_B)$
$A^2 = (1+3+….D_A)$
Quindi, la (2) può essere scritta come:
(1b) $(1+3+5+7+….D_C) = (1+3+….D_A) + (1+3+5….D_B)$
ma dato che $A
(1c) $(1+3+5+7+….D_A ) + ( D_(A+1) ….+D_C) = (1+3+….D_A) + (1+3+5+….D_B)$
che semplificando dà:
(1d) $( D_(A+1) ….+D_C ) = ( 1+3+5+….D_B )$ e ancora sempre con la solita considerazione
(1e) $ ( D_A+1 ….+D_B ) + ( D_(B+1) ….+D_C ) = (1+3+5+7+….D_A ) + ( D_A+1 ….+D_B )$ semplificando
(1f) $ ( D_B+1 ….+D_C ) = (1+3+5+7+….D_A )$,
ma per la (3a) $(1+3+5+7+….DA )= A^2$ quindi:
(1g) $ A^2 = ( D_B+1 ….+D_C )$
Quindi, la ricerca della tripletta A, B, e C tale per cui sia verificata la (2) si riduce alla ricerca di una terna pitagorica A, B, e C tale per cui sia verificata la (1g).
Ma a questo punto, prendendo B = C- 1 la 1g) diventa:
1f) $A^2 = ( D_C )$
E da questa si determinano facilmente C e B: [ricordo che $C^2= (1+3+5+…+ DC)$ ]
$C= Radq (1+3+5+…+ D_C)$ e B= C-1
ESEMPIO1: Sia $A=5$ quindi $A^2 = ( D_C ) = 25$
Quindi: $C^2= (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25)= 169$
Per cui: $C = sqrt (169) = 13$ e $B = C-1 = 13-1 = 12$
Pertanto una delle triplette che verificano la (2) è:
A=5, B=12 e C=13
Un modo più immediato (ed elementare) per ottenere C si ha attraverso la rappresentazione tabulare dei numeri dispari e della loro posizione:
disp posiz
1 1
3 2
5 3
7 4
9 5
11 6
13 7
15 8
17 9
19 10
21 11
23 12
25 13
27 14
29 15
31 16
33 17
35 18
37 19
39 20
41 21
43 22
45 23
47 24
49 25
Poichè $D_C$ è per definizione il C-esimo numero dispari è sufficiente cercarlo nella prima colonna:
C sarà il corrispondente numero nella seconda colonna.
Oppure, più rigorosamente: $Posiz = (Numero Dispari +1 )/2$
ESEMPIO 2:
Analogo esempio si può condurre scegliendo $A=7, A^2 =49$
controllando sulla tabella a fianco quanto vale il valore (D_C) corrispondente a 49 (o calcolandolo), si ha: $D_C = 25$
Quindi la terna pitagorica sarà:$ C= 25, B= 25-1 = 24, A = 7$
Etc….. (per il calcolo di tutte le terne pitagoriche sec. Euclide: $A=m^2-n^2 ; B= 2*m*n ; C=m^2+n^2$ )
Partendo da questa elementare dimostrazione si cercherà nella seconda parte che pubblicheremo appena revisionata, di verificare se è possibile utilizzare la stessa proprietà dei quadrati anche per i cubi $X=3$ e gli ipercubi $X>3$.
Gli amministratori e i moderatori del forum hanno deliberato di porre questo avviso per evitare che tali affermazioni possano indurre in errore gli utenti del forum e minare la credibilità del forum stesso.
In caso di recidività verranno presi provvedimenti di sospensione dal forum.
Il presente messaggio non deve esser rimosso, pena la sospensione o il ban dal forum
Gli amministratori e i moderatori del forum.[/xdom]
CONSIDERAZIONI SULL’ ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (Parte prima)
(Si è volutamente evitato di usare il simbolo di sommatoria per consentire la lettura anche agli studenti delle medie inferiori)
Non spendo altro tempo per raccontare il velo di mistero che tutt’ora avvolge una nota affermazione di Fermat a proposito di una semplice, quanto impensabilmente insidiosa equazione:
(1) $C^X = A^X + B^X$ Fermat afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione per $X >2$
Dopo aver tentato di leggere la dimostrazione (accettata) di Sir. A.Wiles, sono sempre più convinto che Fermat, nella sua profonda conoscenza dei numeri, avesse davvero subito capito come arrivare ad una dimostrazione relativamente semplice.
Tutto sta nell’appoggiarsi a qualcosa di semplice e già dimostrato.
Cominciamo con il presentare un modo semplice per trovare almeno una tripletta (terna pitagorica) A, B,C tale per cui la (1) sia verificata con $X= 2$:
(2) $C^2 = A^2 + B^2$
Premessa: ricordiamo un semplice, ma poco noto, teorema che recita:
“La somma dei primi N numeri dispari è sempre pari ad un quadrato di lato N". Vale per N qualsiasi
Lasciamo al lettore ritrovare la dimostrazione dell’autore e ne utilizziamo l’enunciato scrivendolo quindi come:
3) $N^2 = (1+3+5+7+….D_N)$
cioè $N^2$ è uguale alla sommatoria di tutti i dispari (D) fino all’ N esimo $(D_N)$
Dato che N può essere qualsiasi, generalizzando possiamo quindi dire che (con $A
$C^2 = (1+3+5+7+….D_C)$
$B^2 = (1+3+5+….D_B)$
$A^2 = (1+3+….D_A)$
Quindi, la (2) può essere scritta come:
(1b) $(1+3+5+7+….D_C) = (1+3+….D_A) + (1+3+5….D_B)$
ma dato che $A
(1c) $(1+3+5+7+….D_A ) + ( D_(A+1) ….+D_C) = (1+3+….D_A) + (1+3+5+….D_B)$
che semplificando dà:
(1d) $( D_(A+1) ….+D_C ) = ( 1+3+5+….D_B )$ e ancora sempre con la solita considerazione
(1e) $ ( D_A+1 ….+D_B ) + ( D_(B+1) ….+D_C ) = (1+3+5+7+….D_A ) + ( D_A+1 ….+D_B )$ semplificando
(1f) $ ( D_B+1 ….+D_C ) = (1+3+5+7+….D_A )$,
ma per la (3a) $(1+3+5+7+….DA )= A^2$ quindi:
(1g) $ A^2 = ( D_B+1 ….+D_C )$
Quindi, la ricerca della tripletta A, B, e C tale per cui sia verificata la (2) si riduce alla ricerca di una terna pitagorica A, B, e C tale per cui sia verificata la (1g).
Ma a questo punto, prendendo B = C- 1 la 1g) diventa:
1f) $A^2 = ( D_C )$
E da questa si determinano facilmente C e B: [ricordo che $C^2= (1+3+5+…+ DC)$ ]
$C= Radq (1+3+5+…+ D_C)$ e B= C-1
ESEMPIO1: Sia $A=5$ quindi $A^2 = ( D_C ) = 25$
Quindi: $C^2= (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25)= 169$
Per cui: $C = sqrt (169) = 13$ e $B = C-1 = 13-1 = 12$
Pertanto una delle triplette che verificano la (2) è:
A=5, B=12 e C=13
Un modo più immediato (ed elementare) per ottenere C si ha attraverso la rappresentazione tabulare dei numeri dispari e della loro posizione:
disp posiz
1 1
3 2
5 3
7 4
9 5
11 6
13 7
15 8
17 9
19 10
21 11
23 12
25 13
27 14
29 15
31 16
33 17
35 18
37 19
39 20
41 21
43 22
45 23
47 24
49 25
Poichè $D_C$ è per definizione il C-esimo numero dispari è sufficiente cercarlo nella prima colonna:
C sarà il corrispondente numero nella seconda colonna.
Oppure, più rigorosamente: $Posiz = (Numero Dispari +1 )/2$
ESEMPIO 2:
Analogo esempio si può condurre scegliendo $A=7, A^2 =49$
controllando sulla tabella a fianco quanto vale il valore (D_C) corrispondente a 49 (o calcolandolo), si ha: $D_C = 25$
Quindi la terna pitagorica sarà:$ C= 25, B= 25-1 = 24, A = 7$
Etc….. (per il calcolo di tutte le terne pitagoriche sec. Euclide: $A=m^2-n^2 ; B= 2*m*n ; C=m^2+n^2$ )
Partendo da questa elementare dimostrazione si cercherà nella seconda parte che pubblicheremo appena revisionata, di verificare se è possibile utilizzare la stessa proprietà dei quadrati anche per i cubi $X=3$ e gli ipercubi $X>3$.
Risposte
CONSIDERAZIONI SULL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (parte seconda):
Premessa: Per comprendere meglio il problema riguardante la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat postiamo una traccia di dimostrazione (incompleta) che contiene una affermazione, non provata, che porta ad una semplice soluzione. Stiamo lavorando su due strade diverse, una per tentare di completare (ed eliminare), l’altra che si basa sul fatto che avendo compreso sia l’idea di fondo, sia l’errore, eviti di ricadere nello stesso “problema”. Fermat scrive:
1) $C^n = A^n + B^n$ con A, B e C interi non è mai verificata per $n>2$.
Ci permettiamo di aggiungere che A, B e C non possono essere tutti dispari in quanto un dispari elevato a n resta dispari e che la somma di due dispari da un pari.
Sir. A.Wiles nel 1995 (in 160 pagine) prova la correttezza dell’affermazione per qualsiasi n.
- Ma esiste una dimostrazione più semplice? Proviamo a vedere…
Immaginiamo che
$A^n, B^n, C^n$
siano ipercubi formati dalla composizione e sovrapposizione di un numero
$ A^n, B^n, C^n$ di ipercubetti unitari di lato 1
e superficie esterna pari a $2*n*1*1 = 2*n$ Cioè numero cubetti = volume.
Di seguito (solo per brevità e perché ciò ha un nesso con quanto tenteremo di dimostrare), sostituiremo la dizione corretta “cubi o ipercubi” con la contrazione “cubi” e quella “cubi o ipercubi di lato unitario” con la contrazione “cubetti unitari”.
- Se Fermat avesse torto sovrapponendo correttamente un numero di cubetti pari a $A^n$ o $B^n$ o $C^n$ si possono formare 3 diversi cubi “discreti” e si possono quindi definire due nuove superfici che sembrerebbero la chiave risolutiva del teorema.
Osservazione: Alcune facce dei cubetti (o ipercubetti), risulteranno a contatto fra loro, mentre altre no.
Per il cubo (o ipercubo) in esame possiamo quindi definire 3 superfici caratteristiche:
- Superficie Totale ( St ) pari alla somma delle superfici esterne dei singoli cubetti
Nel caso in cui $n=3$ e lato de cubo pari a C avremo che: $St= 2*n*Numero cubetti = 6*C^3 $
- Superficie esterna ( Se ) pari la superficie (nota) delle facce del cubo
Nel caso in cui $n=3$ e lato de cubo pari a C avremo che: $Sc= 6*C^2$
- Superficie interna ( Si ), o area delle facce a contatto, pari alla differenza fra le due precedenti
Nota: La Superficie interna, diversamente da quelle esterna che ci riserverà delle sorprese, ha la peculiarità di dipendere da quanti cubetti, quindi quante facce, sono a contatto fra loro, quindi da come è composto il solido in esame. La Superficie interna, come vedremo dipende, quindi, anche dal volume del solido in esame.
OBBIETTIVO: dimostrare che Fermat, avrebbe avuto in mano tutti gli strumenti matematici per la risoluzione di questo (semplice) problema “geometrico”.
Utilizzeremo il confronto fra superfici (bidimensionali per definizione) che si dimostrerà la chiave risolutiva del problema indipendentemente da quale sia il numero di dimensioni n degli ipercubi.
TENTATIVO DI DIMOSTRAZIONE (INCOMPLETO) con n=3
Onde chiarire la rilevanza dell’Ultimo teorema di Fermat ci è utile fare un esempio pratico, corredato di figure geometriche, nel primo caso (n=3) in cui:
Sia C il lato del cubo maggiore, B quello del cubo che sottraiamo da quello maggiore, ed A l’ipotetico lato di un cubo di volume pari:
2) $A^3 = C^3 – B^3$ (affermazione che proveremo essere falsa)
Per quanto nella premessa, le tre superfici caratteristiche St, Se ed Si saranno pari a:
Per il Cubo di partenza di lato C
3) $Stc = 6*C^3$
4) $Sec = 6*C^2$
5) $Sic = St-Se = 6*C^3 - 6*C^2$
per l'Ipotetico cubo di arrivo di lato A
6) $Sta = 6*A^3$
7) $Sea = 6*A^2$
8) $Sia = St-Se = 6*A^3 - 6*A^2$
Nota: La Superficie esterna di un cubetto unitario è paria a:
$Se1 = 6$ in quanto $Se = 2*n*L^2$ con $L=1$ e $n=3$
I volumi dei cubi di lato C e B sono pari a $C^3$ e $B^3$ (certamente), mentre proveremo che il volume che resta dalla loro sottrazione, non è pari ad un cubo di lato A (intero).
Calcoleremo quindi esattamente il volume del cubo incompleto (con i dati di partenza) e, per assurdo, ipotizzeremo che sia equivalente ad un cubo ($A^3$), quindi vedremo se l’ipotesi ammette soluzioni o se si confermerà che la (2) non ammette soluzioni per A intero.
Analizziamo ora le tre superfici caratteristiche nel caso di un cubo incompleto:
- Senza fare i conti, solo osservando la figura 5, si nota subito la caratteristica “a sorpresa”:
Il cubo incompleto ha una Superficie (che chiameremo esterna) Se pari a quella del cubo di partenza. Le superfici 1, 2 e 3 sono, infatti, le stesse “ribaltalte” all’interno del cubo.
9) $Seci = Sec$ (probabilmente è questa la ragione di tante dimostrazioni fallite…)
- Mentre la Superficie Totale del cubo incompleto Stci è pari a:
10) $ Stci = Sest. Cubetto unit * Numero cubetti = Se1 * Volume ci = 6 * (C^3 - B^3 )$
Quindi, ricordando la (9) possiamo calcolare la Superficie interna del cubo incompleto Sici:
11) $Sici = Stci - Seci = Stci - Sec = 6 * (C^3 - B^3 ) - 6*C^2$
Ora, ragionando per assurdo: se il volume del cubo incompleto fosse pari a quello di un generico cubo di lato A, quindi la (2) fosse vera, esso dovrebbe anche avere una superficie interna caratteristica di un cubo e quindi con forma necessariamente pari alla (8). Quindi dovrebbero contemporaneamente essere vere (sistema 12+13, scusate non so come postarlo meglio)):
12 | $A^3 = C^3 – B^3$ ed
13 |$ Sici = 6*A^3 - 6*A^2$ cioè:
12a | $A^3 = C^3 – B^3$ ed
13a | $6 * (C^3 - B^3 ) - 6*C^2 = 6*A^3 - 6*A^2$
quindi sostituendo la prima nella seconda si avrebbe l’uguaglianza:
$6 * (A^3 ) - 6*C^2 = 6*A^3 - 6*A^2$ che è verificata solo se $A = C$
Finita la dimostrazione "elegante, ma falsa) per $n=3$
Se fosse valida, oltre ad essere breve e comprensibile a chiunque, sarebbe anche sopraffina in quanto è possibile generalizzarla con ipercubi di dimensioni “n” qualsiasi.
TENTATIVO DI DIMOSTRAZIONE con $n>2$ qualsiasi.
(ERRATO in quanto si basa su una traccia che già sappiamo essere incompleta)
Riscriviamo tutto introducendo il numero di dimensioni “n” (manteniamo gli stessi riferimenti):
2) $A^n = C^n – B^n$ (affermazione che proveremo essere falsa)
Per Ipercubo di partenza di lato C
3) $Stc = 2*n * C^n$
4) $Sec = 2*n C^2$ (non varia $C^2$ )
5) $Sic = St-Se = 2*n * ( C^n - C^2)$
Per Ipotetico Ipercubo di di lato A
6) $Sta = 2*n * A^n$
7) $Sea = 2*n * A^2$ (non varia $A^2$ !)
8) $Sia = St-Se = 2*n * (A^n - A^2)$
Quindi:
10) $Stci = Se cubetti * Volume ci = 2*n * (C^n – B^n )$
11) $Sici = Stci - Seci = Stci- Sec = 2*n * (C^n – B^n ) - 2*n * C^2$
Quindi (sistema12a-13a):
12a |$ A^n = C^n – B^n$ ed
13a | $2*n * (C^n – B^n - C^2 ) = 2*n * ( A^n - A^2 )$
quindi sostituendo la prima nella seconda:
$ (A^3 ) - C^2 = A^3 - A^2 $ che è verificata solo se $A = C$
Fine FALSA dimostrazione Fermat per n qualsiasi.
L’incompletezza che potrebbe nascondere l’errore (a meno di completare provando che l’affermazione non genera un errore, in quanto non corretta, ma comunque "cautelativa"), sta nel fatto che cambiando la forma a quello che resta: dall’ipercubo incompleto al cubo $A^n$ , la superficie interna potrebbe variare. Al momento stiamo perseguendo due strade una, poco promettente, dimostra che l’errore è rimediabile con ulteriori considerazioni, l’altra, che sembra più solida, utilizza sempre un confronto fra superfici, ma ne considera altre.
Premessa: Per comprendere meglio il problema riguardante la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat postiamo una traccia di dimostrazione (incompleta) che contiene una affermazione, non provata, che porta ad una semplice soluzione. Stiamo lavorando su due strade diverse, una per tentare di completare (ed eliminare), l’altra che si basa sul fatto che avendo compreso sia l’idea di fondo, sia l’errore, eviti di ricadere nello stesso “problema”. Fermat scrive:
1) $C^n = A^n + B^n$ con A, B e C interi non è mai verificata per $n>2$.
Ci permettiamo di aggiungere che A, B e C non possono essere tutti dispari in quanto un dispari elevato a n resta dispari e che la somma di due dispari da un pari.
Sir. A.Wiles nel 1995 (in 160 pagine) prova la correttezza dell’affermazione per qualsiasi n.
- Ma esiste una dimostrazione più semplice? Proviamo a vedere…
Immaginiamo che
$A^n, B^n, C^n$
siano ipercubi formati dalla composizione e sovrapposizione di un numero
$ A^n, B^n, C^n$ di ipercubetti unitari di lato 1
e superficie esterna pari a $2*n*1*1 = 2*n$ Cioè numero cubetti = volume.
Di seguito (solo per brevità e perché ciò ha un nesso con quanto tenteremo di dimostrare), sostituiremo la dizione corretta “cubi o ipercubi” con la contrazione “cubi” e quella “cubi o ipercubi di lato unitario” con la contrazione “cubetti unitari”.
- Se Fermat avesse torto sovrapponendo correttamente un numero di cubetti pari a $A^n$ o $B^n$ o $C^n$ si possono formare 3 diversi cubi “discreti” e si possono quindi definire due nuove superfici che sembrerebbero la chiave risolutiva del teorema.
Osservazione: Alcune facce dei cubetti (o ipercubetti), risulteranno a contatto fra loro, mentre altre no.
Per il cubo (o ipercubo) in esame possiamo quindi definire 3 superfici caratteristiche:
- Superficie Totale ( St ) pari alla somma delle superfici esterne dei singoli cubetti
Nel caso in cui $n=3$ e lato de cubo pari a C avremo che: $St= 2*n*Numero cubetti = 6*C^3 $
- Superficie esterna ( Se ) pari la superficie (nota) delle facce del cubo
Nel caso in cui $n=3$ e lato de cubo pari a C avremo che: $Sc= 6*C^2$
- Superficie interna ( Si ), o area delle facce a contatto, pari alla differenza fra le due precedenti
Nota: La Superficie interna, diversamente da quelle esterna che ci riserverà delle sorprese, ha la peculiarità di dipendere da quanti cubetti, quindi quante facce, sono a contatto fra loro, quindi da come è composto il solido in esame. La Superficie interna, come vedremo dipende, quindi, anche dal volume del solido in esame.
OBBIETTIVO: dimostrare che Fermat, avrebbe avuto in mano tutti gli strumenti matematici per la risoluzione di questo (semplice) problema “geometrico”.
Utilizzeremo il confronto fra superfici (bidimensionali per definizione) che si dimostrerà la chiave risolutiva del problema indipendentemente da quale sia il numero di dimensioni n degli ipercubi.
TENTATIVO DI DIMOSTRAZIONE (INCOMPLETO) con n=3
Onde chiarire la rilevanza dell’Ultimo teorema di Fermat ci è utile fare un esempio pratico, corredato di figure geometriche, nel primo caso (n=3) in cui:
Sia C il lato del cubo maggiore, B quello del cubo che sottraiamo da quello maggiore, ed A l’ipotetico lato di un cubo di volume pari:
2) $A^3 = C^3 – B^3$ (affermazione che proveremo essere falsa)
Per quanto nella premessa, le tre superfici caratteristiche St, Se ed Si saranno pari a:
Per il Cubo di partenza di lato C
3) $Stc = 6*C^3$
4) $Sec = 6*C^2$
5) $Sic = St-Se = 6*C^3 - 6*C^2$
per l'Ipotetico cubo di arrivo di lato A
6) $Sta = 6*A^3$
7) $Sea = 6*A^2$
8) $Sia = St-Se = 6*A^3 - 6*A^2$
Nota: La Superficie esterna di un cubetto unitario è paria a:
$Se1 = 6$ in quanto $Se = 2*n*L^2$ con $L=1$ e $n=3$
I volumi dei cubi di lato C e B sono pari a $C^3$ e $B^3$ (certamente), mentre proveremo che il volume che resta dalla loro sottrazione, non è pari ad un cubo di lato A (intero).
Calcoleremo quindi esattamente il volume del cubo incompleto (con i dati di partenza) e, per assurdo, ipotizzeremo che sia equivalente ad un cubo ($A^3$), quindi vedremo se l’ipotesi ammette soluzioni o se si confermerà che la (2) non ammette soluzioni per A intero.
Analizziamo ora le tre superfici caratteristiche nel caso di un cubo incompleto:
- Senza fare i conti, solo osservando la figura 5, si nota subito la caratteristica “a sorpresa”:
Il cubo incompleto ha una Superficie (che chiameremo esterna) Se pari a quella del cubo di partenza. Le superfici 1, 2 e 3 sono, infatti, le stesse “ribaltalte” all’interno del cubo.
9) $Seci = Sec$ (probabilmente è questa la ragione di tante dimostrazioni fallite…)
- Mentre la Superficie Totale del cubo incompleto Stci è pari a:
10) $ Stci = Sest. Cubetto unit * Numero cubetti = Se1 * Volume ci = 6 * (C^3 - B^3 )$
Quindi, ricordando la (9) possiamo calcolare la Superficie interna del cubo incompleto Sici:
11) $Sici = Stci - Seci = Stci - Sec = 6 * (C^3 - B^3 ) - 6*C^2$
Ora, ragionando per assurdo: se il volume del cubo incompleto fosse pari a quello di un generico cubo di lato A, quindi la (2) fosse vera, esso dovrebbe anche avere una superficie interna caratteristica di un cubo e quindi con forma necessariamente pari alla (8). Quindi dovrebbero contemporaneamente essere vere (sistema 12+13, scusate non so come postarlo meglio)):
12 | $A^3 = C^3 – B^3$ ed
13 |$ Sici = 6*A^3 - 6*A^2$ cioè:
12a | $A^3 = C^3 – B^3$ ed
13a | $6 * (C^3 - B^3 ) - 6*C^2 = 6*A^3 - 6*A^2$
quindi sostituendo la prima nella seconda si avrebbe l’uguaglianza:
$6 * (A^3 ) - 6*C^2 = 6*A^3 - 6*A^2$ che è verificata solo se $A = C$
Finita la dimostrazione "elegante, ma falsa) per $n=3$
Se fosse valida, oltre ad essere breve e comprensibile a chiunque, sarebbe anche sopraffina in quanto è possibile generalizzarla con ipercubi di dimensioni “n” qualsiasi.
TENTATIVO DI DIMOSTRAZIONE con $n>2$ qualsiasi.
(ERRATO in quanto si basa su una traccia che già sappiamo essere incompleta)
Riscriviamo tutto introducendo il numero di dimensioni “n” (manteniamo gli stessi riferimenti):
2) $A^n = C^n – B^n$ (affermazione che proveremo essere falsa)
Per Ipercubo di partenza di lato C
3) $Stc = 2*n * C^n$
4) $Sec = 2*n C^2$ (non varia $C^2$ )
5) $Sic = St-Se = 2*n * ( C^n - C^2)$
Per Ipotetico Ipercubo di di lato A
6) $Sta = 2*n * A^n$
7) $Sea = 2*n * A^2$ (non varia $A^2$ !)
8) $Sia = St-Se = 2*n * (A^n - A^2)$
Quindi:
10) $Stci = Se cubetti * Volume ci = 2*n * (C^n – B^n )$
11) $Sici = Stci - Seci = Stci- Sec = 2*n * (C^n – B^n ) - 2*n * C^2$
Quindi (sistema12a-13a):
12a |$ A^n = C^n – B^n$ ed
13a | $2*n * (C^n – B^n - C^2 ) = 2*n * ( A^n - A^2 )$
quindi sostituendo la prima nella seconda:
$ (A^3 ) - C^2 = A^3 - A^2 $ che è verificata solo se $A = C$
Fine FALSA dimostrazione Fermat per n qualsiasi.
L’incompletezza che potrebbe nascondere l’errore (a meno di completare provando che l’affermazione non genera un errore, in quanto non corretta, ma comunque "cautelativa"), sta nel fatto che cambiando la forma a quello che resta: dall’ipercubo incompleto al cubo $A^n$ , la superficie interna potrebbe variare. Al momento stiamo perseguendo due strade una, poco promettente, dimostra che l’errore è rimediabile con ulteriori considerazioni, l’altra, che sembra più solida, utilizza sempre un confronto fra superfici, ma ne considera altre.
Solo una cosa.
Sono del tutto ammirato dal vostro (tuo e di tua moglie) entusiasmo ed arriverei quasi ad inchinarmi, non vorrei mai smorzarlo, credetemi. Ma vi vorrei dire che c'è un motivo per cui il teorema di Fermat ha resistito così tanto tempo. Le considerazioni che fate voi sono troppo elementari, pretendono di dimostrare il teorema semplicemente sostituendo formule in altre formule, e in definitiva non riguardano minimamente il fatto che A,B,C devono essere interi. E ora certo mi direte, ma cosa mi aspettavo? L'avevate detto subito che quella dimostrazione era sbagliata.
La matematica si è spinta molto oltre quello che pensate voi. Mi dispiace se sto risultando saccente, ma sto solo dicendo la verità. Mi dispiacerebbe molto smettere di ascoltarvi solo perché non vi considero abbastanza competenti, ma credetemi, la tentazione è forte.
Il motivo per cui la dimostrazione riconosciuta valida è così difficile è che il problema è estremamente difficile. In generale tutte le equazioni diofantee possono essere a priori inaccessibili, proprio perché le soluzioni devono essere intere.
Vi invito inoltre a studiare questa dimostrazione elementare del caso [tex]n=3[/tex].
"primogramma":Falsissimo. Stai dicendo che se un solido ha lo stesso volume di un cubo allora ha la stessa superficie esterna, e questo è chiaramente falso.
se il volume del cubo incompleto fosse pari a quello di un generico cubo di lato A, quindi la (2) fosse vera, esso dovrebbe anche avere una superficie interna caratteristica di un cubo e quindi con forma necessariamente pari alla (8).
Sono del tutto ammirato dal vostro (tuo e di tua moglie) entusiasmo ed arriverei quasi ad inchinarmi, non vorrei mai smorzarlo, credetemi. Ma vi vorrei dire che c'è un motivo per cui il teorema di Fermat ha resistito così tanto tempo. Le considerazioni che fate voi sono troppo elementari, pretendono di dimostrare il teorema semplicemente sostituendo formule in altre formule, e in definitiva non riguardano minimamente il fatto che A,B,C devono essere interi. E ora certo mi direte, ma cosa mi aspettavo? L'avevate detto subito che quella dimostrazione era sbagliata.
La matematica si è spinta molto oltre quello che pensate voi. Mi dispiace se sto risultando saccente, ma sto solo dicendo la verità. Mi dispiacerebbe molto smettere di ascoltarvi solo perché non vi considero abbastanza competenti, ma credetemi, la tentazione è forte.
Il motivo per cui la dimostrazione riconosciuta valida è così difficile è che il problema è estremamente difficile. In generale tutte le equazioni diofantee possono essere a priori inaccessibili, proprio perché le soluzioni devono essere intere.
Vi invito inoltre a studiare questa dimostrazione elementare del caso [tex]n=3[/tex].
... se la matematica si è spinta oltre è perchè le cose semplici, scoperte secoli fa, funzionano sempre.... e non è mica obbligatorio che ci sia qualcosa di incomprensibile a noi mortali...
Anche perchè il problema è proprio capire cosa, nella semplice geometria (e non nella pura teoria...) ancora non abbiamo capito...
Intanto mi chiedo come mai (se pur banale) ogni documento sull'ultimo di Fermat non riporti l'immediata esclusione dell caso A,B,C dispari, (almeno per dovere di completezza...).
Come hai visto in un mio precedente post le equazioni diofantee, a volte possono essere semplicissime da risolvere... se non si annega nell'oceano del sapere...
Non sono sicuro che la tua osservazione sia corretta. Verifico e poi ti dico.
Ripeto: mio figlio di due anni può dimostrare (praticamente) Fermat per n=3 senza ricorrere alle cascate infinitesimali....
Ripeto: se non abbiamo una dimostrazione semplice è perchè non abbiamo ancora ben compreso cosa siano gli ipercubi incompleti... sappiamo che non sono dei cubi perchè Wiles l'ha provato per qualsiasi n, ma potrei postarti una miriade di esercizietti sul tema che mio figlio con i duplo potrebbe risolvere e tu, con la sola matematica "teorica", probabilmente no.
Provare che un'affermazione è falsa (o vera) non sempre equivale a capire il perchè lo sia, o meno.
E' questo che ci stimola a continuare....
Ciao
Stefano
Anche perchè il problema è proprio capire cosa, nella semplice geometria (e non nella pura teoria...) ancora non abbiamo capito...
Intanto mi chiedo come mai (se pur banale) ogni documento sull'ultimo di Fermat non riporti l'immediata esclusione dell caso A,B,C dispari, (almeno per dovere di completezza...).
Come hai visto in un mio precedente post le equazioni diofantee, a volte possono essere semplicissime da risolvere... se non si annega nell'oceano del sapere...
Non sono sicuro che la tua osservazione sia corretta. Verifico e poi ti dico.
Ripeto: mio figlio di due anni può dimostrare (praticamente) Fermat per n=3 senza ricorrere alle cascate infinitesimali....
Ripeto: se non abbiamo una dimostrazione semplice è perchè non abbiamo ancora ben compreso cosa siano gli ipercubi incompleti... sappiamo che non sono dei cubi perchè Wiles l'ha provato per qualsiasi n, ma potrei postarti una miriade di esercizietti sul tema che mio figlio con i duplo potrebbe risolvere e tu, con la sola matematica "teorica", probabilmente no.
Provare che un'affermazione è falsa (o vera) non sempre equivale a capire il perchè lo sia, o meno.
E' questo che ci stimola a continuare....
Ciao
Stefano
"primogramma":
... se la matematica si è spinta oltre è perchè le cose semplici, scoperte secoli fa, funzionano sempre.... e non è mica obbligatorio che ci sia qualcosa di incomprensibile a noi mortali...
In realtà è il contrario: le cose pensate tempo fa funzionano perchè noi abbiamo costruito la Matematica in modo da conservarle valide.
Ma se ci addentriamo nella epistemologia non ne usciamo più.
"primogramma":
Anche perchè il problema è proprio capire cosa, nella semplice geometria (e non nella pura teoria...) ancora non abbiamo capito...
Mi chiedo se tu sappia, in fondo, di cosa parli.
Del modo di misurare gli oggetti in spazi a più dimensioni se ne occupa quella parte di Matematica che si chiama Teoria Geometrica della Misura; esistono misure con buone proprietà per misurare quasi qualsiasi cosa... Conosci?
Se invece parli di Geometria Combinatoria, c'è una barca di roba.
Certo non avremo ancora capito tutto, ma dubito che si possa risolvere un problema non conoscendo alcuno strumento... Anche l'uomo primitivo per accendere il fuoco ha dovuto prima imparare ad sfregare i bastoncini.
"primogramma":
Intanto mi chiedo come mai (se pur banale) ogni documento sull'ultimo di Fermat non riporti l'immediata esclusione dell caso A,B,C dispari, (almeno per dovere di completezza...).
Leggere le parole "dovere di completezza" scritte da un tipo che sta pubblicando sciocchezze di questa portata è esilarante.
Il caso non viene riportato perchè è banale (due numeri dispari, se sommati, non possono dare un risultato dispari... Questo lo sanno anche i bimbi delle elementari).
"primogramma":
Come hai visto in un mio precedente post le equazioni diofantee, a volte possono essere semplicissime da risolvere... se non si annega nell'oceano del sapere...
Il succo della questione è nella locuzione "a volte": tu sembri confonderla con "sempre" e ciò non sta bene.
"primogramma":
Non sono sicuro che la tua osservazione sia corretta. Verifico e poi ti dico.
Perchè ci vuoi condannare a verificare la tua verifica?
Sopportare questo thread non è stato già abbastanza punitivo?
"primogramma":
Ripeto: mio figlio di due anni può dimostrare (praticamente) Fermat per n=3 senza ricorrere alle cascate infinitesimali....
Vorrà dire che da grande diventerà un bimbo prodigio come Terry Tao (che credo tu conosca, no?).
Buon per lui.
"primogramma":
Ripeto: se non abbiamo una dimostrazione semplice è perchè non abbiamo ancora ben compreso cosa siano gli ipercubi incompleti... sappiamo che non sono dei cubi perchè Wiles l'ha provato per qualsiasi n, ma potrei postarti una miriade di esercizietti sul tema che mio figlio con i duplo potrebbe risolvere e tu, con la sola matematica "teorica", probabilmente no.
E va bene; appena sarai pronto, ce lo spiegherai; ed assicurati di non bruciare la tua credibilità sparando altre sciocchezze nel frattempo.
Ah... Intanto che studi, però, lascia giocare tuo figlio col Duplo!
Non levargli le costruzioni da mano per risolvere Fermat, altrimenti sai che infazia infelice.
"primogramma":
Provare che un'affermazione è falsa (o vera) non sempre equivale a capire il perchè lo sia, o meno.
È quasi una delle più grandi vaccate che leggo da mesi a questa parte.
Si salva solo in parte per l'uso della locuzione "non sempre", che però non è proprio appropriata: io la sostituirei con "quasi sempre".
"primogramma":
E' questo che ci stimola a continuare...
E di certo noi non ci opponiamo.
Sbarea finché vuoi. Buona fortuna.
Riscrivo il mio post con un po' più di calma: (EDIT n.1)
La traccia per tentare la dimostrazione di Fermat (per n=3) potrebbe essere la seguente: (evito i simboli di sommatoria, come ho fatto nel post precdente per n=2, perchè renderebbero inutilmente ostica la comprensione).
Ricordiamo che per il quadrato vale il noto teorema per cui:
$C^2= 1+3+5+....Dc$ , dove Dc = c.esimo dispari o $Dc= 2*C-1$
Analogamente:
Il volume di un cubo di lato C è pari a $C^3$, oppure alla seguente (o ad una equivalente) sommatoria:
(1) $ C^3 = 1 + ((3*2)+1^2)+ ((5*3)+2^2)+.....+ ((Dc*C)+(C-1)^2)$
Chiamiamo termine fondamentale: T1 = 1
Chiamiamo termini "incrementali": T2 = ((3*2)+1^2),.... Tc = ((Dc*C)+(C-1)^2)
La (1) consente di calcolare i cubi di tutti i numeri Naturali da 1 in poi, utilizzando la serie dei dispari fino a dove serve.
Note le proprietà dei numeri Naturali,
La (1) è caratterizzata dal fatto che, per qualsiasi K minore di C, la somma dei termini da T1 a TK è esattamente pari a $K^3$.
Lo sviluppo del cubo di C=5, contiene quindi lo sviluppo di tutti i precedenti cubi di lato C=4, C=3, C=2, C=1.
Se $C^3$ è lo sviluppo completo da T1 a Tc,
un cubo $A^3$ più piccolo sarà certamente contenuto nella prima parte della (1) da T1 a Ta.
Quanto resta (da Ta a TC) è fortemente sospettato di non poter essere un cubo... (Ne abbiamo la certezza come dimostrato da Eulero, per altre dimostrazioni trigonometrie e, in ultimo Wiles). Ma indaghiamo meglio tenendoci queste dimostrazioni a traccia.
Non postiamo ora la dimostrazione perchè anche se fosse corretta dovranno essere altri a dichiarala tale, ma invitiamo a mettere questa formule in un foglio di calcolo e a riflettere (o semplicemente giocare):
Colonna A: (C=) 1,2,3,4......
Colonna B, a partire da B=2
B2 = B1+ ((2*A2-1)*A2+(A2-1)^2)
Poi trascinate...
x Verifica potete mettere $ C2=B2^(1/3)$ per controllare che il risultato della sommatoria (1) elevato ad 1/3 effettivamente vi ritorna tutti i Naturali da cui siamo partiti.
Se poi, sempre per giocare, elevate a $2/3$ e vedete cosa otterrete:
$C2=B2^(2/3)$ restituisce tutti i quadrati dei Naturali;
Invitiamo quindi a creare i grafici di B2 e del solo termine "ingrementale"
$Tc = ((Dc*C)+(C-1)^2)$
Che da solo o, in un gruppetto limitato di altri termini Tx più piccoli dovrebbe essere uguale a $B^3$, se Fermat, e tutti gli altri, avessero avuto torto.
Mettendolo in un grafico entrambe curve di terzo grado vedrete che non si incontrano mai.
La dimostrazione, quindi, può essere effettuata con lo studio delle due funzioni e del fatto che non abbiano soluzioni in comune per qualsiasi B (intero).
C'è poi un metodo dimostrativo più elegante, ma ci pare, sebbene parta da queste considerazioni non sia altro che quello di Eulero (al contrario).
per n=4 (*m), 5*m etc... il termine incrementale cambia, ma non è poi così complicato da scoprire quale sia, quindi ripetere il procedimento.
Spero sia più chiaro e intrigante e invogli qualcuno a tentare di arrivare da solo alla dimostrazione.
Ciao
Stefano
La traccia per tentare la dimostrazione di Fermat (per n=3) potrebbe essere la seguente: (evito i simboli di sommatoria, come ho fatto nel post precdente per n=2, perchè renderebbero inutilmente ostica la comprensione).
Ricordiamo che per il quadrato vale il noto teorema per cui:
$C^2= 1+3+5+....Dc$ , dove Dc = c.esimo dispari o $Dc= 2*C-1$
Analogamente:
Il volume di un cubo di lato C è pari a $C^3$, oppure alla seguente (o ad una equivalente) sommatoria:
(1) $ C^3 = 1 + ((3*2)+1^2)+ ((5*3)+2^2)+.....+ ((Dc*C)+(C-1)^2)$
Chiamiamo termine fondamentale: T1 = 1
Chiamiamo termini "incrementali": T2 = ((3*2)+1^2),.... Tc = ((Dc*C)+(C-1)^2)
La (1) consente di calcolare i cubi di tutti i numeri Naturali da 1 in poi, utilizzando la serie dei dispari fino a dove serve.
Note le proprietà dei numeri Naturali,
La (1) è caratterizzata dal fatto che, per qualsiasi K minore di C, la somma dei termini da T1 a TK è esattamente pari a $K^3$.
Lo sviluppo del cubo di C=5, contiene quindi lo sviluppo di tutti i precedenti cubi di lato C=4, C=3, C=2, C=1.
Se $C^3$ è lo sviluppo completo da T1 a Tc,
un cubo $A^3$ più piccolo sarà certamente contenuto nella prima parte della (1) da T1 a Ta.
Quanto resta (da Ta a TC) è fortemente sospettato di non poter essere un cubo... (Ne abbiamo la certezza come dimostrato da Eulero, per altre dimostrazioni trigonometrie e, in ultimo Wiles). Ma indaghiamo meglio tenendoci queste dimostrazioni a traccia.
Non postiamo ora la dimostrazione perchè anche se fosse corretta dovranno essere altri a dichiarala tale, ma invitiamo a mettere questa formule in un foglio di calcolo e a riflettere (o semplicemente giocare):
Colonna A: (C=) 1,2,3,4......
Colonna B, a partire da B=2
B2 = B1+ ((2*A2-1)*A2+(A2-1)^2)
Poi trascinate...
x Verifica potete mettere $ C2=B2^(1/3)$ per controllare che il risultato della sommatoria (1) elevato ad 1/3 effettivamente vi ritorna tutti i Naturali da cui siamo partiti.
Se poi, sempre per giocare, elevate a $2/3$ e vedete cosa otterrete:
$C2=B2^(2/3)$ restituisce tutti i quadrati dei Naturali;
Invitiamo quindi a creare i grafici di B2 e del solo termine "ingrementale"
$Tc = ((Dc*C)+(C-1)^2)$
Che da solo o, in un gruppetto limitato di altri termini Tx più piccoli dovrebbe essere uguale a $B^3$, se Fermat, e tutti gli altri, avessero avuto torto.
Mettendolo in un grafico entrambe curve di terzo grado vedrete che non si incontrano mai.
La dimostrazione, quindi, può essere effettuata con lo studio delle due funzioni e del fatto che non abbiano soluzioni in comune per qualsiasi B (intero).
C'è poi un metodo dimostrativo più elegante, ma ci pare, sebbene parta da queste considerazioni non sia altro che quello di Eulero (al contrario).
per n=4 (*m), 5*m etc... il termine incrementale cambia, ma non è poi così complicato da scoprire quale sia, quindi ripetere il procedimento.
Spero sia più chiaro e intrigante e invogli qualcuno a tentare di arrivare da solo alla dimostrazione.
Ciao
Stefano
Resisto ancora un po' prima di postare lo sviluppo per n superiori.
Ciao
Stefano
Ciao
Stefano
"primogramma":
... OK, basta con il seminare indizzi e depistaggi:
La più elegante dimostrazione dell'ultimo di Fermat (per n=3) è la seguente:
Il volume di un cubo di lato C è pari a $C^3$, oppure:
$ C^3 = 1 + ((3*2)+1^2)+ ((5*3)+2^2)+.....+ ((Dc*C)+(C-1)^2)$
dove Dc= C esimo dispari ; quindi
$Dc = (2*C-1)$
E' chiaro che (come per il quadrato) se togliamo da un cubo più grande un cubo più piccolo, quello che rimane (by definition, l'incremento) non può più essere un cubo, ma è un cubo incompleto (che è quindi una ben definta figura geometrica con tante belle proprietà "snobbate" per secoli...).
Per verifica in un foglio di calcolo potete mettere questa formula:
Colonna A: (C=) 1,2,3,4......
Colonna B, a partire da B=2
B2 = B1+ ((2*A2-1)*A2+(A2-1)^2)
Poi trascinate...
x i Santommaso: C2=B2^(1/3) fornisce tutti i dispari; C2=B2^(2/3) i quadrati dei dispari;
per n=4 (*m), 5*m etc... il termine cambia, ma non è poi così complicato da scoprire come.
Se rileggete tutti i miei post precedenti capirete che avevo già dato a tutti i lettori gli strumenti per arrivarci.. e qualche depistaggio divertente, ma utile...
Avrei voluto attendere il completamento con il caso generale che funziona allo stesso modo... ma tant'è.
Grazie per le tante belle parole... e la pazienza.
... sono le 7 del mattino e devo andare in ufficio... spero di non aver lasciato qualche refuso nelle formule...
Ciao
Stefano
Quindi tu avresti risolto un problema che ha impegnato matematici veri (con tanto di laurea e anni di ricerca sul groppone) per tre secoli in una mezza paginetta di dimostrazione? Guarda, io sono qua da relativamente poco e mi sono reso conto di essere circondato da gente molto più preparata di me (considera che sono all'ultimo anno della specialistica, quindi qualcosa forse ho imparato). Credi che queste persone non avrebbero dimostrato l'UTF in meno tempo se fosse così facile?
EDIT. E aggiungo: siccome tu sei tanto bravo e noi siamo una massa di incapaci, cerca almeno di semplificarci la lettura della tua lectio magistralis usando il LaTeX; il tuo post è praticamente illeggibile.
Se vuoi sapere cosa succede, ad esempio, per $C^5$, basta moltiplichi da entrable le parti per $C^2)...
La sostanza non cambia: puoi sempre ricondurti alla prima parte (finita) della serie dei dispari.
Ma ho anche un altro sviluppo più raffinato che parte da 1 ( e non $1*C^$)...
Ciao
Stefano
Chi insulta... è perchè ha finito le parole
La sostanza non cambia: puoi sempre ricondurti alla prima parte (finita) della serie dei dispari.
Ma ho anche un altro sviluppo più raffinato che parte da 1 ( e non $1*C^$)...
Ciao
Stefano
Chi insulta... è perchè ha finito le parole
Ti ho insultato? Ti prego di indicarmi ESATTAMENTE dove starebbe l'insulto. Ho solo detto la verità, che la tua parlantina può aggirare ma non eliminare: la dimostrazione dell'UTF è complicata per gli addetti ai lavori, figurarsi per una persona che non ha affrontato lo studio della Matematica in maniera seria e costante (questo non è insulto, ma una semplice constatazione).
... io almeno qualche cosa di "matematico" l'ho postato...
Hai almeno capito quello che c'è scritto ?
Sai confutare (non con la tua di parlantina).
Si, dove ?
A questo serve un forum (di persone civili).
Il titolo del topic l'hai letto ? Qulache dimostrazione "semplice" dell'UTF (vera o falsa) l'hai letta ?
Che differenza trovi fra la mia "considerazione" e quelle ?
Hai mai visto un cubo sviluppato con questa sommatoria ?
E sai che comporta ?
E un ipercubo? E sapresti defiirmi cos'è un ipercubo incompleto ?
Hai capito in che relazione sta questo sviluppo rispetto alla casacata infinitesimale di Eulero o al metodo di dimostrazione "trigonometrico" basato sulle terne pitagoriche?
...e per finire: nessuno ti obbliga a leggere questo topic.
Hai almeno capito quello che c'è scritto ?
Sai confutare (non con la tua di parlantina).
Si, dove ?
A questo serve un forum (di persone civili).
Il titolo del topic l'hai letto ? Qulache dimostrazione "semplice" dell'UTF (vera o falsa) l'hai letta ?
Che differenza trovi fra la mia "considerazione" e quelle ?
Hai mai visto un cubo sviluppato con questa sommatoria ?
E sai che comporta ?
E un ipercubo? E sapresti defiirmi cos'è un ipercubo incompleto ?
Hai capito in che relazione sta questo sviluppo rispetto alla casacata infinitesimale di Eulero o al metodo di dimostrazione "trigonometrico" basato sulle terne pitagoriche?
...e per finire: nessuno ti obbliga a leggere questo topic.
"primogramma":
La più elegante dimostrazione dell'ultimo di Fermat (per n=3) è la seguente:
Il volume di un cubo di lato C è pari a $C^3$, oppure:
$ C^3 = 1 + ((3*2)+1^2)+ ((5*3)+2^2)+.....+ ((Dc*C)+(C-1)^2)$
dove Dc= C esimo dispari ; quindi
$Dc = (2*C-1)$
E' chiaro che (come per il quadrato) se togliamo da un cubo più grande un cubo più piccolo, quello che rimane (by definition, l'incremento) non può più essere un cubo, ma è un cubo incompleto (che è quindi una ben definta figura geometrica con tante belle proprietà "snobbate" per secoli...).
Io proprio non riesco a capire. Scusa la mia ignoranza, ma potresti formalizzare? Perché fin qui mi sembra tu abbia dimostrato praticamente nulla.
Si grazie: ho fatto come Fermat: mi sono tenuto la dimostrazione a mente perchè non avevo spazio....
teniamo sempre a mente che A,B,C sono quelli della diseguaglianza di Fermat (...ma perchè cavolo non è sempre scritta come diseguaglianza visto che ormai è dimostrata ? Ormai dovrebbe essere una certezza utile a tutti... invece sembra ancora che a tutti tocchi dimostrarla...)
Vista la mia ignoranza conlamata, mi sono chiesto questo:
Se $C_1 = 3/4$... con il mio sviluppo potrei calcolare ESATTAMENTE quanto vale $C^3$ e quindi anche qual'è il secondo termine del mio sviluppo ? (il sottoinsieme numeri razionali del tipo $C_1$ chissa perchè sono chiamati "frazione decimale" e non "Numeri naturali decimali" visto che possiamo facilmente individuarne le caratteristiche che li accomunano e li cottrandistinguono... bah misteri della matematica...).
Cioè il il mio sviluppo, vale solo per gli interi, quindi per i Naturali ?
Beh, da perito meccanico, mi son detto... prendo un micrometro e dico che il mio lato misyrato 0,75 mm, in realtà è lungo 75 micron.... (e non vado oltre perchè adesso anche tu puoi capire che sono in grado di calcolare quanto vale il secondo termine dello sviluppo (cioè quanto vale il più piccolo Dc, quindi il più piccolo dispari dopo 1 (1 che che nella vecchia scala era, invece, 1/1000)...
Se non è chiaro ditemelo che completo la spiegazione con la matematica e non con le parole.
Poi mi sono detto e se fosse un latro cubo con lato $C_2=10/3$ ?
Poi mi sono detto: e se il mio lato fosse pari a pigreco o altro numero irrazionale?
Potrei ancora calcolare il secondo termine del mio sviluppo, o per misurare il volume del mio cubo ESATTAMENTE avrei solo un metodo (che se non ti è chiaro quale sia, o se ritieni interessante che lo spieghi quì, fra universitari... dimmelo)
Ed in fine mentre potrei misurare Esattamente il volume dato dalla somma di due cubi, uno di $A^3$ lato pigreco e l'altro $B^3$ di lato 2 pigreco, potrei farlo se il secondo cubo $B^3$ avesse lato pari a $10/3$ ?
Ora tutto questo non è in relazione diretta con Fermat ?
Bando alle ciance
*******************************************************
La dimostrazione che abbiamo messo in piedi utilizzando il mio sviluppo parte quindi da un semplice esempio in cui C=2 (unità di misura), ed A inevitabilmente sia pari ad 1 (stessa unità di misura).
-Passa per la considerazione che se B fosse un multiplo di A, ed A è diverso da 1, allora posso definire una nuova scala di misurazione, cioè dividere entrambe per il loro fattore comune, ed ottenere comunque un volume V intero, che non certo quello di un cubo perchè posso paragonare: il corretto sviluppo del cubo di una somma, ricondotto nella mia forma, con quello "alla" di Fermat.
E se, invece, fosse C un multiplo di A, allora potremmo fare la stessa cosa, facendo il cubo della differenza.
Senza fare tante parole Eulero ha già definito il problema per n=3...
Riesci quindi a chiarire la relazione fra la cascata infinitesimale e il mio metodo di "crescita finita" ?
Solo che con la cascata infinitesimale o sei di livello universitario... o qualche dubbio ti resta...
L'affermazione "dimostrazione" era chiaramente, volutamente provocatoria, visto che non l'ho completa... se non con una frase che indica un metodo (da verificare) secondo cui sarei riuscito a dimostrarla...
Sono interessato a continuare a discutere civilmente con chiunque si ponga dei questiti o dia correzioni/integrazioni cordiali e utili...
E quando avrò una dimostrazione inattaccabile sarà perchè "qualcun altro", l'ha verificata quindi pubblicata come "ufficiale"...
Fino ad allora saremo tutti comuni mortali che discutiamo del sesso degli angeli, liberi di aprire siti internet tipo "prooffermatthelast.pirl" etc.....
Ciao
Stefano
teniamo sempre a mente che A,B,C sono quelli della diseguaglianza di Fermat (...ma perchè cavolo non è sempre scritta come diseguaglianza visto che ormai è dimostrata ? Ormai dovrebbe essere una certezza utile a tutti... invece sembra ancora che a tutti tocchi dimostrarla...)
Vista la mia ignoranza conlamata, mi sono chiesto questo:
Se $C_1 = 3/4$... con il mio sviluppo potrei calcolare ESATTAMENTE quanto vale $C^3$ e quindi anche qual'è il secondo termine del mio sviluppo ? (il sottoinsieme numeri razionali del tipo $C_1$ chissa perchè sono chiamati "frazione decimale" e non "Numeri naturali decimali" visto che possiamo facilmente individuarne le caratteristiche che li accomunano e li cottrandistinguono... bah misteri della matematica...).
Cioè il il mio sviluppo, vale solo per gli interi, quindi per i Naturali ?
Beh, da perito meccanico, mi son detto... prendo un micrometro e dico che il mio lato misyrato 0,75 mm, in realtà è lungo 75 micron.... (e non vado oltre perchè adesso anche tu puoi capire che sono in grado di calcolare quanto vale il secondo termine dello sviluppo (cioè quanto vale il più piccolo Dc, quindi il più piccolo dispari dopo 1 (1 che che nella vecchia scala era, invece, 1/1000)...
Se non è chiaro ditemelo che completo la spiegazione con la matematica e non con le parole.
Poi mi sono detto e se fosse un latro cubo con lato $C_2=10/3$ ?
Poi mi sono detto: e se il mio lato fosse pari a pigreco o altro numero irrazionale?
Potrei ancora calcolare il secondo termine del mio sviluppo, o per misurare il volume del mio cubo ESATTAMENTE avrei solo un metodo (che se non ti è chiaro quale sia, o se ritieni interessante che lo spieghi quì, fra universitari... dimmelo)
Ed in fine mentre potrei misurare Esattamente il volume dato dalla somma di due cubi, uno di $A^3$ lato pigreco e l'altro $B^3$ di lato 2 pigreco, potrei farlo se il secondo cubo $B^3$ avesse lato pari a $10/3$ ?
Ora tutto questo non è in relazione diretta con Fermat ?
Bando alle ciance
*******************************************************
La dimostrazione che abbiamo messo in piedi utilizzando il mio sviluppo parte quindi da un semplice esempio in cui C=2 (unità di misura), ed A inevitabilmente sia pari ad 1 (stessa unità di misura).
-Passa per la considerazione che se B fosse un multiplo di A, ed A è diverso da 1, allora posso definire una nuova scala di misurazione, cioè dividere entrambe per il loro fattore comune, ed ottenere comunque un volume V intero, che non certo quello di un cubo perchè posso paragonare: il corretto sviluppo del cubo di una somma, ricondotto nella mia forma, con quello "alla" di Fermat.
E se, invece, fosse C un multiplo di A, allora potremmo fare la stessa cosa, facendo il cubo della differenza.
Senza fare tante parole Eulero ha già definito il problema per n=3...
Riesci quindi a chiarire la relazione fra la cascata infinitesimale e il mio metodo di "crescita finita" ?
Solo che con la cascata infinitesimale o sei di livello universitario... o qualche dubbio ti resta...
L'affermazione "dimostrazione" era chiaramente, volutamente provocatoria, visto che non l'ho completa... se non con una frase che indica un metodo (da verificare) secondo cui sarei riuscito a dimostrarla...
Sono interessato a continuare a discutere civilmente con chiunque si ponga dei questiti o dia correzioni/integrazioni cordiali e utili...
E quando avrò una dimostrazione inattaccabile sarà perchè "qualcun altro", l'ha verificata quindi pubblicata come "ufficiale"...
Fino ad allora saremo tutti comuni mortali che discutiamo del sesso degli angeli, liberi di aprire siti internet tipo "prooffermatthelast.pirl" etc.....
Ciao
Stefano
... ovviamente voglio arrivare al calcolo infinitesimale (sommatorie-> integrali) da un lato e ad una dimostrazione... di Fermat UTILISSIMA, ma semplice, dall'altro.
Taccia: riesci a sviluppare quello che resta (cubo incompleto) con il mio sviluppo del cubo 1+.... ?
No ?
Perchè ?
... Fermat dimostrato per n=3. (se non riesci segui Eulero come traccia)
Ma se n=4,5,6...
Riesco a trovare uno sviluppo che sia dello stesso tipo cioè 1+..... ?
Mia risposta: SI (e non è poi così complicato)
Quindi ? Quindi dimostrato per n=3, ...seguono gli altri.
Solo che strada facendo non bisogna annegare in un bicchier d'acqua e, facendo altro, ti assicuro che ricominciare tutte le volte da zero, per poi essere interrotto quando si accendeva una nuova lampadina è stata durissima... In oltre una volta chiuso il cerchio bisogna fare i conti con lo scrivere correttamente la dimostrazione...
Ciao
Stefano
Taccia: riesci a sviluppare quello che resta (cubo incompleto) con il mio sviluppo del cubo 1+.... ?
No ?
Perchè ?
... Fermat dimostrato per n=3. (se non riesci segui Eulero come traccia)
Ma se n=4,5,6...
Riesco a trovare uno sviluppo che sia dello stesso tipo cioè 1+..... ?
Mia risposta: SI (e non è poi così complicato)
Quindi ? Quindi dimostrato per n=3, ...seguono gli altri.
Solo che strada facendo non bisogna annegare in un bicchier d'acqua e, facendo altro, ti assicuro che ricominciare tutte le volte da zero, per poi essere interrotto quando si accendeva una nuova lampadina è stata durissima... In oltre una volta chiuso il cerchio bisogna fare i conti con lo scrivere correttamente la dimostrazione...
Ciao
Stefano
Tu non hai dimostrato proprio nulla perché non sai neanche che cos'è una dimostrazione. Fai un grande polverone, tiri in ballo molti esempi, ma una dimostrazione generale non c'è. Puoi verificare che il teorema sussiste per un miliardo di numeri diversi, e ancora quella non sarebbe una dimostrazione. Puoi buttare fumo negli occhi in quantità industriale, scrivendo cose incomprensibili e poi piccandoti quando te lo si fa notare, e ancora quella non sarebbe una dimostrazione.
L'unico consiglio che ti si può dare è di finirla di sottrarre tempo alla tua famiglia e al tuo lavoro per sciuparlo in queste elucubrazioni. Fino adesso tutto il tuo lavoro, e si vede che hai lavorato tanto, è andato completamente dissipato. Non hai concluso proprio niente, mi dispiace.
L'unico consiglio che ti si può dare è di finirla di sottrarre tempo alla tua famiglia e al tuo lavoro per sciuparlo in queste elucubrazioni. Fino adesso tutto il tuo lavoro, e si vede che hai lavorato tanto, è andato completamente dissipato. Non hai concluso proprio niente, mi dispiace.
... scrivilo in matematica (punto per punto)... e chiediti cosa pensa di te la gente che legge i tuoi di post.
Se sai: dimostralo; se sai: aiuta gli altri a comprendere.
Se no sei solo uno che non ha capito un bel nulla di cosa sia il sapere e del perchè è importante condividerlo.
Certo che non ho scritto la dimostrazione, ma non sarai certo tu il primo a leggere quella completa.
Altri stanno, con pazienza, esaminando e aiutandomi a riscrivere secondo i sacri "canoni", vederemo se arriviamo alla fine.
... tanto non si guadagna nulla...
Ciao
Stefano
p.s. devo rieditare per correggere alcune cose, tanto il post originale è rimasto grazie a chi fa il copia e incolla.
Fortuna che le chiavi del paradiso le ha uno solo... (evidentemente l'unico che sa bene di non essere Dio, per quello)...
Se sai: dimostralo; se sai: aiuta gli altri a comprendere.
Se no sei solo uno che non ha capito un bel nulla di cosa sia il sapere e del perchè è importante condividerlo.
Certo che non ho scritto la dimostrazione, ma non sarai certo tu il primo a leggere quella completa.
Altri stanno, con pazienza, esaminando e aiutandomi a riscrivere secondo i sacri "canoni", vederemo se arriviamo alla fine.
... tanto non si guadagna nulla...
Ciao
Stefano
p.s. devo rieditare per correggere alcune cose, tanto il post originale è rimasto grazie a chi fa il copia e incolla.
Fortuna che le chiavi del paradiso le ha uno solo... (evidentemente l'unico che sa bene di non essere Dio, per quello)...
Invito a rileggere il mio post a pag.3 in quanto ho apportato doverose rettifiche e chiarimenti.
Ciao
Stefano
Ciao
Stefano
Io invece ti invito a studiare umilmente prima di fare il presuntuoso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo