Connettivo logico di implicazione
E' da un po' di tempo che ho comprato Analisi Matematica di Giovanni Prodi e così l'altro giorno mi è venuto in mente di iniziare a leggerlo; ho visto che il primo capitolo o paragrafo si basa praticamente sulla logica proposizionale, cosa che non ho mai affrontato in alcun corso di studio, sebbene abbia studiato l'algebra booleana che ne è praticamente parente stretta.
Tuttavia mi sono trovato un po' in difficoltà sul connettivo di implicazione.
Prese due proposizioni \(\displaystyle P \) e \(\displaystyle Q \), se \(\displaystyle P \) è vera ed è vera \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) allora \(\displaystyle Q \) è vera... e fin qui ci sono.
Tuttavia nel caso della tabella di verita non capisco il caso \(\displaystyle F\ V = V \), lo so che \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è equivalente a \(\displaystyle {(\neg P)} \vee Q \) (perché poi??) e quindi da tebella di verità coincide, ma non mi è proprio chiaro il perché.
Se la premessa è falsa io potrei concludere qualsiasi cosa, ma come faccio a dire se alla fine è vera o falsa?
Tuttavia mi sono trovato un po' in difficoltà sul connettivo di implicazione.
Prese due proposizioni \(\displaystyle P \) e \(\displaystyle Q \), se \(\displaystyle P \) è vera ed è vera \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) allora \(\displaystyle Q \) è vera... e fin qui ci sono.
Tuttavia nel caso della tabella di verita non capisco il caso \(\displaystyle F\ V = V \), lo so che \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è equivalente a \(\displaystyle {(\neg P)} \vee Q \) (perché poi??) e quindi da tebella di verità coincide, ma non mi è proprio chiaro il perché.
Se la premessa è falsa io potrei concludere qualsiasi cosa, ma come faccio a dire se alla fine è vera o falsa?
Risposte
Salve etec83,
mi fa piacere che tu hai consultato il libro di G. Prodi, io l'ho usato pure e lo trovo estremamente interessante... anche se per la logica non lo consiglio...
Il tuo problema è esposto un pò male, vediamo se ho capito: tu vuoi sapere perchè è vera l'implicazione tra $P$ e $Q$, $P -> Q$, nel caso in cui l'ipotesi $P$ è falsa ed la tesi $Q$ è vera?
Se l'interrogativo tuo è questo allora ti dico che la risposta risiede nella definizione.
Cordiali saluti
"etec83":
E' da un po' di tempo che ho comprato Analisi Matematica di Giovanni Prodi e così l'altro giorno mi è venuto in mente di iniziare a leggerlo; ho visto che il primo capitolo o paragrafo si basa praticamente sulla logica proposizionale, cosa che non ho mai affrontato in alcun corso di studio, sebbene abbia studiato l'algebra booleana che ne è praticamente parente stretta.
Tuttavia mi sono trovato un po' in difficoltà sul connettivo di implicazione.
Prese due proposizioni \(\displaystyle P \) e \(\displaystyle Q \), se \(\displaystyle P \) è vera ed è vera \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) allora \(\displaystyle Q \) è vera... e fin qui ci sono.
Tuttavia nel caso della tabella di verita non capisco il caso \(\displaystyle F\ V = V \), lo so che \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è equivalente a \(\displaystyle {(\neg P)} \vee Q \) (perché poi??) e quindi da tebella di verità coincide, ma non mi è proprio chiaro il perché.
Se la premessa è falsa io potrei concludere qualsiasi cosa, ma come faccio a dire se alla fine è vera o falsa?
mi fa piacere che tu hai consultato il libro di G. Prodi, io l'ho usato pure e lo trovo estremamente interessante... anche se per la logica non lo consiglio...
Il tuo problema è esposto un pò male, vediamo se ho capito: tu vuoi sapere perchè è vera l'implicazione tra $P$ e $Q$, $P -> Q$, nel caso in cui l'ipotesi $P$ è falsa ed la tesi $Q$ è vera?
Se l'interrogativo tuo è questo allora ti dico che la risposta risiede nella definizione.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve etec83,
mi fa piacere che tu hai consultato il libro di G. Prodi, io l'ho usato pure e lo trovo estremamente interessante... anche se per la logica non lo consiglio...
Il tuo problema è esposto un pò male, vediamo se ho capito: tu vuoi sapere perchè è vera l'implicazione tra $P$ e $Q$, $P -> Q$, nel caso in cui l'ipotesi $P$ è falsa ed la tesi $Q$ è vera?
Se l'interrogativo tuo è questo allora ti dico che la risposta risiede nella definizione.
Cordiali saluti
Più che consultare lo volevo proprio leggere, nel senso che un po' di basi di matematica ce le ho, avendo già fatto Analisi I e Analisi II nel corso di ingegneria.
Solo che il libro inizia trattando un po' di logica e io non ho mai fatto corsi di logica... so che non è il massimo, ma non credevo di dovermi prima leggere un libro di logica per capire il primo capitolo.
E comunque sì la mia domanda era proprio quella... e forse sto iniziando a capire il ragionamento.
Se l'ipotesi è falsa e la tesi è vera, l'implicazione sarà vera perché la tesi è vera a prescindere dall'ipotesi sbagliata??
E' così?
Salve etec83,
la prima parte è ok, ma la seconda da "perchè" al punto interrogativo "?"...non capisco cosa vuoi dire...
Cordiali saluti
"etec83":
Se l'ipotesi è falsa e la tesi è vera, l'implicazione sarà vera perché la tesi è vera a prescindere dall'ipotesi sbagliata??
E' così?
la prima parte è ok, ma la seconda da "perchè" al punto interrogativo "?"...non capisco cosa vuoi dire...
Cordiali saluti
Sì scusa, non ho messo le virgole e ho scritto pure male.
Intendevo scrivere che, se da un'ipotesi falsa deduco una tesi vera, allora l'implicazione è vera, a prescindere che l'ipotesi sia vera o sbagliata.
Intendevo scrivere che, se da un'ipotesi falsa deduco una tesi vera, allora l'implicazione è vera, a prescindere che l'ipotesi sia vera o sbagliata.
Il connettivo logico di implicazione, o condizionale $=>$ dice che "se P allora Q", da cui $p => Q$, che si può anche scrivere come "non si dà il caso che P e non Q" da cui $not(P ^^ not Q)$. Ora se fai la tavola di verità da quest'ultima formalizzazione vedi perchè l'implicazione è falsa quando l'antecedente $P$ è vero e il conseguente $Q$ è falso.
Salve etec83,
ma allora stai parlando forse della dimostrazione, visto che mi parli di deduzione, o no?
Cordiali saluti
"etec83":
Sì scusa, non ho messo le virgole e ho scritto pure male.
Intendevo scrivere che, se da un'ipotesi falsa deduco una tesi vera, allora l'implicazione è vera, a prescindere che l'ipotesi sia vera o sbagliata.
ma allora stai parlando forse della dimostrazione, visto che mi parli di deduzione, o no?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Il connettivo logico di implicazione, o condizionale $=>$ dice che "se P allora Q", da cui $p => Q$, che si può anche scrivere come "non si dà il caso che P e non Q" da cui $not(P ^^ not Q)$. Ora se fai la tavola di verità da quest'ultima formalizzazione vedi perchè l'implicazione è falsa quando l'antecedente $P$ è vero e il conseguente $Q$ è falso.
Ciao Gundam, in logica sono scarsissima... mi piace però sostituire alle lettere che indicano le proposizioni delle proposizioni vere e proprie e vedere che sorta di periodi ne escono fuori. Se hai tempo e voglia vorrei provare a fare un po' di esercizio:
a)se fossi il Presidente del Consiglio dei Ministri riuscirei a debellare la piaga dell'evasione fiscale
L'affermazione nel suo complesso è vera, se fossi al posto di Monti sì che metterei a posto le cose, ma la prima proposizione è falsa, Napolitano non mi ha ancora affidato la guida del Governo
con il tuo suggerimento diventerebbe
b) Non può essere che se fossi premier non corregerei i problemi relativi alle entrate fiscali
Che ne dici, ho "tradotto" bene?
Salve gio73,
anche se il messaggio non è indirizzato a me, non ho potuto fare a meno di leggerlo...
Ma che razza di proposizione matematica sono, preciso che la matematica è un linguaggio ben definito...etc...
Formalizzazioni di questo tipo non avevo ancora visto...
Cordiali saluti
"gio73":
Ciao Gundam, in logica sono scarsissima... mi piace però sostituire alle lettere che indicano le proposizioni delle proposizioni vere e proprie e vedere che sorta di periodi ne escono fuori. Se hai tempo e voglia vorrei provare a fare un po' di esercizio:
a)se fossi il Presidente del Consiglio dei Ministri riuscirei a debellare la piaga dell'evasione fiscale
L'affermazione nel suo complesso è vera, se fossi al posto di Monti sì che metterei a posto le cose, ma la prima proposizione è falsa, Napolitano non mi ha ancora affidato la guida del Governo
con il tuo suggerimento diventerebbe
b) Non può essere che se fossi premier non corregerei i problemi relativi alle entrate fiscali
Che ne dici, ho "tradotto" bene?
anche se il messaggio non è indirizzato a me, non ho potuto fare a meno di leggerlo...
Ma che razza di proposizione matematica sono, preciso che la matematica è un linguaggio ben definito...etc...
Formalizzazioni di questo tipo non avevo ancora visto...
Cordiali saluti
"gio73":
[quote="GundamRX91"]Il connettivo logico di implicazione, o condizionale $=>$ dice che "se P allora Q", da cui $p => Q$, che si può anche scrivere come "non si dà il caso che P e non Q" da cui $not(P ^^ not Q)$. Ora se fai la tavola di verità da quest'ultima formalizzazione vedi perchè l'implicazione è falsa quando l'antecedente $P$ è vero e il conseguente $Q$ è falso.
Ciao Gundam, in logica sono scarsissima... mi piace però sostituire alle lettere che indicano le proposizioni delle proposizioni vere e proprie e vedere che sorta di periodi ne escono fuori. Se hai tempo e voglia vorrei provare a fare un po' di esercizio:
a)se fossi il Presidente del Consiglio dei Ministri riuscirei a debellare la piaga dell'evasione fiscale
L'affermazione nel suo complesso è vera, se fossi al posto di Monti sì che metterei a posto le cose, ma la prima proposizione è falsa, Napolitano non mi ha ancora affidato la guida del Governo
con il tuo suggerimento diventerebbe
b) Non può essere che se fossi premier non corregerei i problemi relativi alle entrate fiscali
Che ne dici, ho "tradotto" bene?[/quote]
$P => Q$
"se fossi il Presidente del Consiglio dei Ministri ($P$) allora riuscirei a debellare la piaga dell'evasione fiscale ($Q$)".
$not (P ^^ not Q)$
"($not$) non si dà il caso che se io fossi il Presidente dei Consiglio dei Ministri ($P$) ($^^$) e ($not$) non riuscirei a debellare la piaga dell'evasione fiscale ($Q$)".
Il tuo esempio è un pò articolato però spero ti sia chiaro, altrimenti prova con questo:
"se mangio ($P$) allora ($=>$) divento grande ($Q$)"
"($not$) non si dà il caso che io mangio $(P$) e ($not$) non divento grande ($Q$)"
"garnak.olegovitc":
Salve gio73,
[quote="gio73"]Ciao Gundam, in logica sono scarsissima... mi piace però sostituire alle lettere che indicano le proposizioni delle proposizioni vere e proprie e vedere che sorta di periodi ne escono fuori. Se hai tempo e voglia vorrei provare a fare un po' di esercizio:
a)se fossi il Presidente del Consiglio dei Ministri riuscirei a debellare la piaga dell'evasione fiscale
L'affermazione nel suo complesso è vera, se fossi al posto di Monti sì che metterei a posto le cose, ma la prima proposizione è falsa, Napolitano non mi ha ancora affidato la guida del Governo
con il tuo suggerimento diventerebbe
b) Non può essere che se fossi premier non corregerei i problemi relativi alle entrate fiscali
Che ne dici, ho "tradotto" bene?
anche se il messaggio non è indirizzato a me, non ho potuto fare a meno di leggerlo...
Ma che razza di proposizione matematica sono, preciso che la matematica è un linguaggio ben definito...etc...
Formalizzazioni di questo tipo non avevo ancora visto...
Cordiali saluti[/quote]
Garnak, è solo logica proposizionale... oppure non ho capito cosa volevi far intendere (il che è più probabile
)
Salve GundamRX91,
ma si dai, se la intendiamo solo in quel modo allora ci possiamo dileguare in molteplici formalizzazioni del tipo... in sostanza, hai ragione
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Garnak, è solo logica proposizionale... oppure non ho capito cosa volevi far intendere (il che è più probabile
ma si dai, se la intendiamo solo in quel modo allora ci possiamo dileguare in molteplici formalizzazioni del tipo... in sostanza, hai ragione
Cordiali saluti
L'implicazione è una sorta di "Se è vera l'ipotesi dunque è vera la tesi". (Ipotesi la proposizione a sinistra, tesi quella a destra)
Quindi alla base dello sviluppo della tavola della verità c'è il primo caso, fondamentale, e il secondo:
1]Se ho sia ipotesi che tesi vere nello stesso momento, un'implicazione tra le due è dunque vera. Se fosse falsa sarebbe un assurdo con il fatto che la tesi sia vera (contemporaneamente all'ipotesi).
2]Se ho l'ipotesi vera e la tesi falsa, un'implicazione tra le due è dunque falsa. Se infatti l'implicazione fosse vera, avrei un assurdo con il fatto che la tesi sia falsa all'avverarsi dell'ipotesi.
I casi meno intuitivi che vedono l'ipotesi falsa vedono l'implicazione sempre e comunque vera. Questo per il semplice fatto che l'unico modo per fissare l'implicazione come falsa è l'assurdità che da ipotesi vera si giunga a tesi falsa. In tutti gli altri casi un'implicazione può restare vera come condizione sufficiente mentre le condizioni di verità o falsità di ipotesi e tesi sono libere tra loro non generando alcun assurdo. La funzione dell''implicazione si chiude fissando la sua condizione di falsità. Questi procedimenti sicuramente poco intuitivi se visti dal punto di vista solo logico-formale, hanno riscontri positivi in altri ambiti, per esempio se formulassimo delle proposizioni come esempi o se giocassimo semplicemente con delle implicazioni matematiche e controesempi.
Quindi alla base dello sviluppo della tavola della verità c'è il primo caso, fondamentale, e il secondo:
1]Se ho sia ipotesi che tesi vere nello stesso momento, un'implicazione tra le due è dunque vera. Se fosse falsa sarebbe un assurdo con il fatto che la tesi sia vera (contemporaneamente all'ipotesi).
2]Se ho l'ipotesi vera e la tesi falsa, un'implicazione tra le due è dunque falsa. Se infatti l'implicazione fosse vera, avrei un assurdo con il fatto che la tesi sia falsa all'avverarsi dell'ipotesi.
I casi meno intuitivi che vedono l'ipotesi falsa vedono l'implicazione sempre e comunque vera. Questo per il semplice fatto che l'unico modo per fissare l'implicazione come falsa è l'assurdità che da ipotesi vera si giunga a tesi falsa. In tutti gli altri casi un'implicazione può restare vera come condizione sufficiente mentre le condizioni di verità o falsità di ipotesi e tesi sono libere tra loro non generando alcun assurdo. La funzione dell''implicazione si chiude fissando la sua condizione di falsità. Questi procedimenti sicuramente poco intuitivi se visti dal punto di vista solo logico-formale, hanno riscontri positivi in altri ambiti, per esempio se formulassimo delle proposizioni come esempi o se giocassimo semplicemente con delle implicazioni matematiche e controesempi.
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