Connessione di Galois

[PincoPallino871]

Buonasera a tutti.
Mi trovo alle prese con la seguente definizione (connessione formale di Galois). Siano $X$ e $Y$ due insiemi e $R\subset X\times Y$. Definisco:

$ ': P(X)\to P(Y)$ che manda $A$ in $A':={y\in Y|\forall x\in A, xRy}$

e $': P(Y)\to P(X)$ che manda $B$ in $B':={x\in X|\forall y in B, yRx}$

Devo dimostrare che $A\subset A''$, ove $A'':=(A')'$. A detta del docente dovrebbe essere immediato, ma a me non viene alcuna idea. Potreste aiutarmi?

[maurer]

"PincoPallino87":Buonasera a tutti.
Mi trovo alle prese con la seguente definizione (connessione formale di Galois).

Mai sentita. Come si chiama l'esame in questione? (Mi interessa perché la definizione in questione mi sembra degna di interesse e sarebbe interessante vedere fino a che punto i risultati della teoria di Galois possono essere visti semplicemente come di natura insiemistica - anche se temo che si riesca a fare molto poco di più rispetto alla proprietà di cui stai chiedendo tu).

In ogni caso, veniamo alla tua domanda. Effettivamente è immediato. Hai provato ad applicare le definizioni? Chi sono gli elementi di [tex]A''[/tex]? Sono gli [tex]x \in X[/tex] tali che [tex]\forall y \in A'[/tex] si ha [tex]x \mathcal{R} y[/tex]. Ma adesso se [tex]y \in A'[/tex] allora [tex]x R y[/tex] per ogni [tex]x \in A[/tex]. Pertanto abbiamo "scoperto" (ma era ovvio sin dal principio, per natura delle definizioni) che se [tex]x \in A[/tex] allora [tex]x R y[/tex] per ogni [tex]y \in A'[/tex], ossia [tex]x \in A''[/tex]. Segue [tex]A \subseteq A''[/tex].

Pensieri sparsi: forse si potrebbe provare l'idempotenza... [tex]A'''' = A''[/tex]...

[PincoPallino871]

"maurer": Chi sono gli elementi di [tex]A''[/tex]? Sono gli [tex]x \in X[/tex] tali che [tex]\forall y \in A'[/tex] si ha [tex]x \mathcal{R} y[/tex].

Per definizione, non dovrebbero essere gli $x\in X$ tali che $\forall y\in A'$, $yRx$, alla luce di quanto ho scritto nel mio primo post?

[maurer]

Direi che il tuo è un errore, perché hai scritto [tex]\mathcal{R} \subset X \times Y[/tex]. Pertanto se [tex]y \in Y[/tex] e [tex]x \in X[/tex] allora [tex](y,x) \not \in \mathcal{R}[/tex] (l'ordine conta, nel prodotto cartesiano!). Chiaramente [tex]A' \subset Y[/tex]...

[PincoPallino871]

Mannaggia
Quindi ho solo sbagliato a tirare giù la definizione di sta benedetta connessione; ovviamente non potevo dimostrare il teorema partendo dalle definizioni sbagliate. Mea culpa...
Grazie per l'attenzione.