Congruità modulo 101
Vi chiedo di aiutarmi a risolvere il seguente quesito:
A cosa è congruo 8^101 in modulo 101?
Vi ringrazio in anticipo
A cosa è congruo 8^101 in modulo 101?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Una facile applicazione del Piccolo Teorema di Fermat ti dà la risposta.
Prima di tutto si dice "congruenza". Congruità non si può sentire... 
Allora, come già detto sopra devi pensare al fatto che $8 in Z_101$ come elemento del gruppo delle congruenze modulo 101.
Se hai studiato la teoria dei gruppi il fatto che la cardinalità di $Z_101$ è 100 visto che 101 è un numero primo e in quanto tale... ... quindi posso dire che ...
Sostituisci i puntini.
Se non hai fatto teoria dei gruppi, il piccolo teorema di Fermat è comunque utile.
Se non sai cosa sia: wikipedia e simili.
Allora, come già detto sopra devi pensare al fatto che $8 in Z_101$ come elemento del gruppo delle congruenze modulo 101.
Se hai studiato la teoria dei gruppi il fatto che la cardinalità di $Z_101$ è 100 visto che 101 è un numero primo e in quanto tale... ... quindi posso dire che ...
Sostituisci i puntini.
Se non hai fatto teoria dei gruppi, il piccolo teorema di Fermat è comunque utile.
Se non sai cosa sia: wikipedia e simili.
grazie a tutti
$\ZZ _{101}$ non ha cardinalità $100$. Al massimo è il suo gruppo moltiplicativo che ha cardinalità $100$, ma non vedo come la cosa possa portare a una risoluzione del problema più rapida dell'applicazione diretta del Piccolo Teorema di Fermat.
Anche se probabilmente hai già risolto il quesito, ti rispondo per completezza.
Il problema dato è equivalente a dire, che resto ho se divido $8^101$ per 101?
Dunque tecnicamente hai da risolvere questa congruenza $x-=8^101(mod 101)$.
A questo punto, per il Piccolo Th di Fermat (lo puoi applicare perché 101 è primo) , ogni x > 0 di $ZZ$ risulta essere $x^100-=1(mod 101)$.
E dunque $x-=8^101-=8^1-=8(mod101)$ . Pertanto il resto della divisione di $8^101$ per 101 è 8.
Bye
(Attenzione , se avessi avuto come questito una cosa simile alla tua , ma congrua ad n non primo, avresti dovuto usare in quel
caso Eulero, piuttosto che fermat.)
Il problema dato è equivalente a dire, che resto ho se divido $8^101$ per 101?
Dunque tecnicamente hai da risolvere questa congruenza $x-=8^101(mod 101)$.
A questo punto, per il Piccolo Th di Fermat (lo puoi applicare perché 101 è primo) , ogni x > 0 di $ZZ$ risulta essere $x^100-=1(mod 101)$.
E dunque $x-=8^101-=8^1-=8(mod101)$ . Pertanto il resto della divisione di $8^101$ per 101 è 8.
Bye
(Attenzione , se avessi avuto come questito una cosa simile alla tua , ma congrua ad n non primo, avresti dovuto usare in quel
caso Eulero, piuttosto che fermat.)
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