Congruenze polinomiali (vedi pag.2)
Ciao ragazzi, mi trovo con un altro problemino con le congruenze polinomiali... Ho questo esercizio:
Si consideri l'anello R = $Z_11[X]$ $=$ $(X^4 + X^3 - 5*X - 5)$.
a. Per ognuno dei seguenti elementi $Q$ $\epsilon$ $R$ dire se è invertibile o un divisore di zero e trovare l'inverso o un elemento $S$ $\epsilon$ $R - {0}$ tale che $QS$ $=$ $0$ in $R$.
Ho questa Q
i) $Q = X^2 - 9$;
Per verificare se è divisore o inverso devo trovare l'$MCD$, e per trovarlo faccio quindi la divisone tra il polinomio e la mia Q. Mi esce (salto i calcoli perchè devo scappare a lavoro) come risultato:
$P =$ $(x^2 - 9)*(x^2 + x + 9) + (4*x + 1)$
Mi devo fermare qua? O continuo la divisione?
Solo che se continuo la divisione andrei al di fuori dell'anello... Fermandomi quindi a dove sono arrivato io mi verrebbe da dire che la Q che ho considerato è un divisore dello zero..!
Anche stavolta, dove sbaglio?
Si consideri l'anello R = $Z_11[X]$ $=$ $(X^4 + X^3 - 5*X - 5)$.
a. Per ognuno dei seguenti elementi $Q$ $\epsilon$ $R$ dire se è invertibile o un divisore di zero e trovare l'inverso o un elemento $S$ $\epsilon$ $R - {0}$ tale che $QS$ $=$ $0$ in $R$.
Ho questa Q
i) $Q = X^2 - 9$;
Per verificare se è divisore o inverso devo trovare l'$MCD$, e per trovarlo faccio quindi la divisone tra il polinomio e la mia Q. Mi esce (salto i calcoli perchè devo scappare a lavoro) come risultato:
$P =$ $(x^2 - 9)*(x^2 + x + 9) + (4*x + 1)$
Mi devo fermare qua? O continuo la divisione?
Solo che se continuo la divisione andrei al di fuori dell'anello... Fermandomi quindi a dove sono arrivato io mi verrebbe da dire che la Q che ho considerato è un divisore dello zero..!
Anche stavolta, dove sbaglio?
Risposte
"alberto86":
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%CF%86_di_Eulero
Non ho capito dove dovrei guardare.. La funzione di Eulero l'ho usata per trovarmi l'inverso di $n^6$ ...
In pratica ho trovato la $\phi$ di $ZZ_9$ che mi risulta uguale a $6$. Quindi so che qualsiasi numero appartenente a $ZZ_9$ elevato a $6$ mi da l'inverso..
Questo però non mi fa arrivare alla soluzione del mio problema..
"Luigikr":
[quote="alberto86"]http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%CF%86_di_Eulero
Non ho capito dove dovrei guardare.. La funzione di Eulero l'ho usata per trovarmi l'inverso di $n^6$ ...
In pratica ho trovato la $\phi$ di $ZZ_9$ che mi risulta uguale a $6$. Quindi so che qualsiasi numero appartenente a $ZZ_9$ elevato a $6$ mi da l'inverso..
Questo però non mi fa arrivare alla soluzione del mio problema..[/quote]
Forse ho capito male, ma essendo $ZZ_9$ un anello e non un campo non ogni elemento ha inverso moltiplicativo.
Non ho capito il fatto di elevare a $6$ ogni elemento di $ZZ_9$ per avere l'inverso...
"GundamRX91":
[quote="Luigikr"][quote="alberto86"]http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%CF%86_di_Eulero
Non ho capito dove dovrei guardare.. La funzione di Eulero l'ho usata per trovarmi l'inverso di $n^6$ ...
In pratica ho trovato la $\phi$ di $ZZ_9$ che mi risulta uguale a $6$. Quindi so che qualsiasi numero appartenente a $ZZ_9$ elevato a $6$ mi da l'inverso..
Questo però non mi fa arrivare alla soluzione del mio problema..[/quote]
Forse ho capito male, ma essendo $ZZ_9$ un anello e non un campo non ogni elemento ha inverso moltiplicativo.
Non ho capito il fatto di elevare a $6$ ogni elemento di $ZZ_9$ per avere l'inverso...
[/quote]Allora metto il passaggio che ho sottinteso.. (sto imparando la materia da autodidatta e alcune cose sicuramente mi sono sfuggite)
In pratica io mi sono trovato gli elementi di $ZZ_9$ che sono ${1, 2, 4, 5, 7, 8}$ che sono 6 e che coincide appunto con $\phi$..
Quindi io ho pensato che $a^\phi -= 1$ $mod$ $9$.. per questo ho scritto $n^6 -=_9 1$..
Allora ho sbagliato a pensare così?
Non so se quanto hai scritto è giusto o sbagliato, per lo meno quando affermi che per trovare l'inverso in $ZZ_9$ basta elevare un suo elemento per $6$, però intanto gli elementi di $ZZ_9$ sono le relative classi dei resti, ossia gli elementi $[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8] $, mentre l'insieme ${1,3,4,5,7,8}$ ,che per inciso è un sistemo ridotto di residui modulo $9$, o equivalentemente, gli elementi minori di $9$ e coprimi con $9$ (dalla definizione di funzione di Eulero), non definisce $ZZ_9$, ok?
"GundamRX91":
Non so se quanto hai scritto è giusto o sbagliato, per lo meno quando affermi che per trovare l'inverso in $ZZ_9$ basta elevare un suo elemento per $6$, però intanto gli elementi di $ZZ_9$ sono le relative classi dei resti, ossia gli elementi $[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8] $, mentre l'insieme ${1,3,4,5,7,8}$ ,che per inciso è un sistemo ridotto di residui modulo $9$, o equivalentemente, gli elementi minori di $9$ e coprimi con $9$ (dalla definizione di funzione di Eulero), non definisce $ZZ_9$, ok?
Ok perfetto, fin qua ci sono! Se posso, scrivo il passaggio sul testo che sto prendendo in considerazione per svolgere l'esercizio (che sarebbe appunto il Teorema di Eulero):
Sia G l'insieme delle unità di $ZZ_m$, ossia l'insieme delle classi di congruenza $[a_m]$ con $a
Ad esempio in $ZZ_26$, $G$ consiste di $[a]$, dove $a= 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$ (appunto gli elementi minori e coprimi). Quindi $\phi(26)= 12$. Quindi $3^12 -= 1$ $(mod 26)$..
[size=85](Il testo è: ALGEBRA - un'introduzione completa di Lindsay Childs)[/size]
Quindi, dato che come dici tu in questo modo non sto definendo $ZZ_9$, non posso essere sicuro che otterrei l'inverso moltiplicativo elevando $n$ a $6$?
Se è così crolla tutto il mio procedimento e ritorno fermo al punto di partenza..
Aspetta, quello che enunci è il teorema di Eulero-Fermat: $a^(\phi(n))-=1_(mod n)$ con $(a,n)=1$, cioè primi tra loro, però nel tuo caso $26$ non è un numero primo, infatti $(12,26)=2$, e quindi $3^12$ non può essere congruo $1$ modulo $26$.
In questo caso solo i campi, cioè gli anelli $(ZZ_n,+,*)$ con $n$ numero primo, ammettono sempre inverso moltiplicativo, che tra l'altro è diverso per i vari elementi di $ZZ_n$.
In questo caso solo i campi, cioè gli anelli $(ZZ_n,+,*)$ con $n$ numero primo, ammettono sempre inverso moltiplicativo, che tra l'altro è diverso per i vari elementi di $ZZ_n$.
"GundamRX91":
Aspetta, quello che enunci è il teorema di Eulero-Fermat: $a^(\phi(n))-=1_(mod n)$ con $(a,n)=1$, cioè primi tra loro, però nel tuo caso $26$ non è un numero primo, infatti $(12,26)=2$, e quindi $3^12$ non può essere congruo $1$ modulo $26$.
In questo caso solo i campi, cioè gli anelli $(ZZ_n,+,*)$ con $n$ numero primo, ammettono sempre inverso moltiplicativo, che tra l'altro è diverso per i vari elementi di $ZZ_n$.
Mmmm.. guarda.. Mi sa che ora vado in confusione eheheh
L'esempio di $3^12 -= 1 mod 26$ l'ho preso proprio dal libro che mi dice appunto che la cosa è possibile..!
Scusami, ho preso un granchio... ho scritto una fesseria: è $(3,26)$ e non $(12,26)$ il massimo comune divisore, e siccome $(3,26)=1$ allora $3^12-=1_(mod 26)$.
Sono troppo stanco oggi per connettere...
Ora devo andare, a dopo. Ciao
Sono troppo stanco oggi per connettere...
Ora devo andare, a dopo. Ciao
"GundamRX91":
Scusami, ho preso un granchio... ho scritto una fesseria: è $(3,26)$ e non $(12,26)$ il massimo comune divisore, e siccome $(3,26)=1$ allora $3^12-=1_(mod 26)$.
Sono troppo stanco oggi per connettere...
Ora devo andare, a dopo. Ciao
Ahahahah tranquillo! Anzi, grazie per l'aiuto.. Intanto provo a trovare anche io una soluzione all'esercizio (anche se non so più dove andare a parare... :\ )
Ciao!
Vale in generale anche se non hai un campo:
$\phi(16)=8$ se $(n,16)=1$ allora $n^{12}=n^4$.
Se $(n,16)\neq 1$ allora $2$ divide $n$, raccogli il $2^4$ che é 16 e quindi $n^{12}-n^4=0$
$\phi(16)=8$ se $(n,16)=1$ allora $n^{12}=n^4$.
Se $(n,16)\neq 1$ allora $2$ divide $n$, raccogli il $2^4$ che é 16 e quindi $n^{12}-n^4=0$
"alberto86":
Vale in generale anche se non hai un campo:
$\phi(16)=8$ se $(n,16)=1$ allora $n^{12}=n^4$.
Se $(n,16)\neq 1$ allora $2$ divide $n$, raccogli il $2^4$ che é 16 e quindi $n^{12}-n^4=0$
Mmmm.. scusa l'ignoranza.. Ho capito fino al MCD ma non riesco a capire bene le conseguenze...
Cioè, ok che se l'MCD non è 1 deve essere 2, ma non capisco appunto il dopo..!
Ciao ragazzi, mi trovo con un altro problemino con le congruenze polinomiali... Ho questo esercizio:
Si consideri l'anello R = $Z_11[X]$ $=$ $(X^4 + X^3 - 5*X - 5)$.
a. Per ognuno dei seguenti elementi $Q$ $\epsilon$ $R$ dire se è invertibile o un divisore di zero e trovare l'inverso o un elemento $S$ $\epsilon$ $R - {0}$ tale che $QS$ $=$ $0$ in $R$.
Ho questa Q
i) $Q = X^2 - 9$;
Per verificare se è divisore o inverso devo trovare l'$MCD$, e per trovarlo faccio quindi la divisone tra il polinomio e la mia Q. Mi esce (salto i calcoli perchè devo scappare a lavoro) come risultato:
$P =$ $(x^2 - 9)*(x^2 + x + 9) + (4*x - 1)$
Mi devo fermare qua? O continuo la divisione?
Solo che se continuo la divisione andrei al di fuori dell'anello... Fermandomi quindi a dove sono arrivato io mi verrebbe da dire che la Q che ho considerato è un divisore dello zero..!
Anche stavolta, dove sbaglio?
Si consideri l'anello R = $Z_11[X]$ $=$ $(X^4 + X^3 - 5*X - 5)$.
a. Per ognuno dei seguenti elementi $Q$ $\epsilon$ $R$ dire se è invertibile o un divisore di zero e trovare l'inverso o un elemento $S$ $\epsilon$ $R - {0}$ tale che $QS$ $=$ $0$ in $R$.
Ho questa Q
i) $Q = X^2 - 9$;
Per verificare se è divisore o inverso devo trovare l'$MCD$, e per trovarlo faccio quindi la divisone tra il polinomio e la mia Q. Mi esce (salto i calcoli perchè devo scappare a lavoro) come risultato:
$P =$ $(x^2 - 9)*(x^2 + x + 9) + (4*x - 1)$
Mi devo fermare qua? O continuo la divisione?
Solo che se continuo la divisione andrei al di fuori dell'anello... Fermandomi quindi a dove sono arrivato io mi verrebbe da dire che la Q che ho considerato è un divisore dello zero..!
Anche stavolta, dove sbaglio?
Ragionandoci un pò ho pensato che se devo trovare l'$MCD$ devo continuare a dividere..
Quindi divido la mia $Q= x^2 - 9$ per il resto $4*x - 1$...
Arrivo ad ottenere da questa ulteriore divisione resto $0$. Questo quindi mi dice che la mia $Q$ (dato che il resto è diverso da $1$) è divisore dello zero?
Questo argomento ancora non mi è chiaro...
Quindi divido la mia $Q= x^2 - 9$ per il resto $4*x - 1$...
Arrivo ad ottenere da questa ulteriore divisione resto $0$. Questo quindi mi dice che la mia $Q$ (dato che il resto è diverso da $1$) è divisore dello zero?
Questo argomento ancora non mi è chiaro...
A me la divisione euclidea dei due polinomi in $ZZ_11$ (se non ho capito male...) viene:
$x^4+x^3-\bar(5)x-\bar(5)=(x^2-\bar(9))(x^2+x+\bar(9))+\bar(4)x+\bar(2)$
$x^4+x^3-\bar(5)x-\bar(5)=(x^2-\bar(9))(x^2+x+\bar(9))+\bar(4)x+\bar(2)$
"GundamRX91":
A me la divisione euclidea dei due polinomi in $ZZ_11$ (se non ho capito male...) viene:
$x^4+x^3-\bar(5)x-\bar(5)=(x^2-\bar(9))(x^2+x+\bar(9))+\bar(4)x+\bar(2)$
Adesso mi sto collegando a "scrocco" dall'università.. Stamattina ho fatto l'esame.. Ormai è andata! ^^'
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