[Congruenze Modulari] Equazioni

[BHK1]

Non ho ben chiaro il procedimento per la risoluzione delle equazioni modulari in $ZZ_(n)$ $[a]_(n)[x]_(n)=[c]_(n)$
presa l'equazione omogenea associata
$[a]_(n)[x]_(n)=[0]_(n)$ in $ZZ_(n)$
ha soluzioni non banali se $MCD(a,n)>1$
$MCD(a,n)=d$

ora le soluzioni generali di questa equazione dovrebbero essere $[(k*n)/(d)]_(n)$ con $k=0,1...d-1$
ipotizzando che quello detto sopra sia corretto, non riesco a determinare le soluzioni particolari di una qualsiasi equazione in $ZZ_(n)$ $[a]_(n)[x]_(n)=[c]_(n)$
ad esempio in $ZZ_(42)$ $[330]_(42)[x]_(42)=[216]_(42)$
$[330]_(42)[x]_(42)=[216]_(42)=>[36]_(42)[x]_(42)=[6]_(42)$
dove trovo la soluzione generale con
$MCD(36,42)=6;

$d=6;$

$[(k*42)/(6)]_(42)$ con $k=0,1...5$
conoscete il procedimento per la soluzione particolare?
grazie!

[Samy211]

Io risolvo considerando l'inverso del coefficiente della $[x]$ nel modulo in cui ci troviamo. Nel tuo caso:

$36x=6$ con $MCD(42,36)=6$
divido per il MCD e ottengo $6x=1$ in $ZZ_7$ e quindi l'inverso di $6$ è $6$ (perchè?) e la soluzione quindi è $x=6$.

Spero sia quello che desideravi

[blackbishop13]

Oltre al metodo di Samy21, che trova una delle tante soluzioni particolari , te ne propongo un altro:

nel caso di $36*x=6$ in $ZZ_42$ la soluzione particolare è semplice, è che bisogna abituarsi ad usare anche i numeri negativi nei moduli, infatti
$36=-6$ in $ZZ_42$

allora l'equazione diventa $-6*x=6$ $mod42$, da cui $x=-1$.

la periodicità delle soluzioni poi mi sembra corretta.

[BHK1]

dunque vediamo se ho capito, per trovare un soluzione particolare di una qualsiasi equazione $[ax]=[c]$ in $ZZ_(n)$
devo ragionare sul valore da assegnare alla x per verificarne l'uguaglianza e poi riportare l'insieme delle soluzioni trovate come $[x_(0)+(k*n)/d]_(n)$
tenendo conto che $n|(c-ax_(0))$
quindi ad esempio $[3]*[x]=[9]$ in $ZZ_(n)$
prima cosa si verifica se ha soluzioni in $ZZ$
quindi
$MCD(12,3)=3;
ha soluzioni poichè l'MDC divide c $3|9$
e inoltre ha soluzioni non banali: $[(k*12)/6]_(12)=>[k*2]_(12)$
ora per trovare una soluzion particolare tengo conto che $[9]_(12)$ è uguale a $[-3]_(12)$
quindi assegno alla $x$ il valore $-1$
ottenendo appunto $[x_(0)+k*2]_(12)=>[-1+k*2]_(12)
giusto?