Congruenze lineari e teorema Eulero
Buonasera a tutti! Ho sempre avuto un problema con l'algebra in generale, e continuo a farci a ****tti purtroppo.
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare la cifra delle unità e quella delle decine del numero $2013^2014$. Ora so che si deve applicare il Teorema di Eulero (o Eulero-Fermat), quindi basterebbe trovare il resto di quel numero nella divisione per 100 e siccome MCD(2013,100)=1 allora $2013^φ(100)-=1(mod100)$, so che φ(100)=40, ma da lì in poi mi sono bloccato e non riesco ad avanzare
Spero in un vostro aiuto, grazie mille!!!
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare la cifra delle unità e quella delle decine del numero $2013^2014$. Ora so che si deve applicare il Teorema di Eulero (o Eulero-Fermat), quindi basterebbe trovare il resto di quel numero nella divisione per 100 e siccome MCD(2013,100)=1 allora $2013^φ(100)-=1(mod100)$, so che φ(100)=40, ma da lì in poi mi sono bloccato e non riesco ad avanzare
Spero in un vostro aiuto, grazie mille!!!
Risposte
Se $ 2013^40-= 1(mod100) $, $ 2013^2014-= (mod100) $? Come potresti procedere?
Allora so che $2014=40x50+14$ quindi $2013^2014=2013^(40x50+14) ⇒ [2013^40]^50 x [2013^14] $ tutto modulo 100, ma $[2013^40]^50-=1(mod100)$ e quindi rimango con $2013^14-=1(mod100)$, ma comunque non sono arrivato al dunque, mi manca ancora qualcosa!
Non è un metodo semplice ma io lo farei così:
puoi considerare solo $ 13 $ poichè ai fini delle ultime due cifre nulla importa che sia $ 2013 $ invece di solo $ 13 $. A questo punto sai che $ 2013^14-=13^14 $.
Ma $ 13^14=13^(7^2) $ Adesso calcoli $ 13^7 $.
Iniziamo:
$ 13*13=169-=69(mod100) $
$ 69*13=897-=97(mod100) $
Procedendo così arrivi ad ottenere, alla settima moltiplicazione: $ 9*13=117-=17(mod100) $.
Ora non resta che fare $17*17=289-=89(mod100) $ che è esattamente il numero che cercavi.
Forse ci sono metodi più veloci, anzi quasi sicuramente. Personalmente non li conosco, se qualcuno ha voglia di scriverne uno sarò contento di impararlo!
puoi considerare solo $ 13 $ poichè ai fini delle ultime due cifre nulla importa che sia $ 2013 $ invece di solo $ 13 $. A questo punto sai che $ 2013^14-=13^14 $.
Ma $ 13^14=13^(7^2) $ Adesso calcoli $ 13^7 $.
Iniziamo:
$ 13*13=169-=69(mod100) $
$ 69*13=897-=97(mod100) $
Procedendo così arrivi ad ottenere, alla settima moltiplicazione: $ 9*13=117-=17(mod100) $.
Ora non resta che fare $17*17=289-=89(mod100) $ che è esattamente il numero che cercavi.
Forse ci sono metodi più veloci, anzi quasi sicuramente. Personalmente non li conosco, se qualcuno ha voglia di scriverne uno sarò contento di impararlo!
Ah ok, mi complicavo la vita fin troppo credo! Grazie mille per l'aiuto, è stato prezioso!!!!!
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