Congruenze e inverso

[Dr0p3r]

Buongiorno,
stavo provando a risolvere alcuni esempi che ci ha dato il nostro professore e mi sono bloccato al seguente con 2 equazioni:

$ 4x ≡7mod15 $ e $ 8x ≡11mod21 $

Ora controlla se le singole equazioni sono risolubili:

$ MCD (4, 15) $$/7$ quindi OK dato che è 1 e $ MCD (8, 21) $$/11$ quindi OK dato che anche questo è 1

Ora passo alla soluzione delle 2 equazioni:
$ x ≡ 7*4^-1 mod15 $
$ x ≡ 11*8^-1 mod21 $

Perche ha messo esponente -1 come inverso di 4 e di 8? Dove e come l'ha trovato?
Fatto questo mostra che:
$ 4^-1 ≡ 4 $ e quindi $ (4*4=16≡1mod15) $
$ 8^-1 ≡ 8 $ e quindi $ (8*8=64≡1mod21) $

Perchè $ 4^-1 ≡ 4 $ e $ 8^-1 ≡ 8 $ ?

[gugo82]

"Dr0p3r":Ora passo alla soluzione delle 2 equazioni:
$ x ≡ 7*4^-1 mod15 $
$ x ≡ 11*8^-1 mod21 $

Perche ha messo esponente -1 come inverso di 4 e di 8? Dove e come l'ha trovato?

Se $4x=7$ fosse un'equazione in $RR$ di quelle usuali, come la risolveresti?

"Dr0p3r":Fatto questo mostra che:
$ 4^-1 ≡ 4 $ e quindi $ (4*4=16≡1mod15) $
$ 8^-1 ≡ 8 $ e quindi $ (8*8=64≡1mod21) $

Perchè $ 4^-1 ≡ 4 $ e $ 8^-1 ≡ 8 $ ?

Te l'ha appena dimostrato, anche se quel "e quindi" non indica l'implicazione giusta, che è meglio descritta da "poiché"... Leggi con attenzione, ricordando la definizione di $a^(-1)$.