Congruenze e equazioni diofantee
Ho un bel po' di esercizi da fare sulle congruenze ma non ho capito come devono essere svolti.......mi potete spiegare come si svolge per esempio questo???
Stabilire se per le seguenti congruenze esistono soluzioni intere $x in ZZ$. In caso affermativo, determinarle tutte. Determinare poi le soluzioni $x in ZZ$ che soddisfano $0
$5x-=8 (mod17)$
Aiutatemi vi prego sono in crisi e tra qualche giorno ho l'esame!!
Stabilire se per le seguenti congruenze esistono soluzioni intere $x in ZZ$. In caso affermativo, determinarle tutte. Determinare poi le soluzioni $x in ZZ$ che soddisfano $0
$5x-=8 (mod17)$
Aiutatemi vi prego sono in crisi e tra qualche giorno ho l'esame!!
Risposte
Vale $\gcd(5, 17) = 1$ quindi $5$ è invertibile modulo $17$, e - anche senza ricorrere all'identità di Bezout - si nota che $5^{-1} = 7$, dal momento che $5 \cdot 7 = 35 \equiv 1 \mod 17$. Quindi
$5x \equiv 8 \mod 17 \implies x \equiv 56 \mod 17$
Ma $56$ è congruo a $5$ modulo $17$, quindi
$x \equiv 5 \mod 17$
che significa
$x = 5 + 17 k$
con $k \in \mathbb{Z}$. Le soluzioni comprese fra zero e cento si trovano per $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
$5x \equiv 8 \mod 17 \implies x \equiv 56 \mod 17$
Ma $56$ è congruo a $5$ modulo $17$, quindi
$x \equiv 5 \mod 17$
che significa
$x = 5 + 17 k$
con $k \in \mathbb{Z}$. Le soluzioni comprese fra zero e cento si trovano per $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Non capisco come hai fatto questo ragionamento:
Vale $\gcd(5, 17) = 1$ quindi $5$ è invertibile modulo $17$, e - anche senza ricorrere all'identità di Bezout - si nota che $5^{-1} = 7$, dal momento che $5 \cdot 7 = 35 \equiv 1 \mod 17$
Io nella soluzione dell'esercizio ho trovato scritto:
dato che $mcd(5,17)=1$ allora $EEa,b in ZZ : 5a+17b=1$
ad esempio $a=7$ e $b=-2$
Ne segue che $x_0=7*8=56$ è una soluzione particole della congruenza e la soluzione generale è data da $x=56+17k$ equivalente a $x=5+17k$
Ma perchè $x_0$ è moltiplicato per $8$???
La formula non è questa? $x=x_0+kn$
Invece con $3x-=1 mod 5$ come si svolge?
Vale $\gcd(5, 17) = 1$ quindi $5$ è invertibile modulo $17$, e - anche senza ricorrere all'identità di Bezout - si nota che $5^{-1} = 7$, dal momento che $5 \cdot 7 = 35 \equiv 1 \mod 17$
Io nella soluzione dell'esercizio ho trovato scritto:
dato che $mcd(5,17)=1$ allora $EEa,b in ZZ : 5a+17b=1$
ad esempio $a=7$ e $b=-2$
Ne segue che $x_0=7*8=56$ è una soluzione particole della congruenza e la soluzione generale è data da $x=56+17k$ equivalente a $x=5+17k$
Ma perchè $x_0$ è moltiplicato per $8$???
La formula non è questa? $x=x_0+kn$
Invece con $3x-=1 mod 5$ come si svolge?
Nessuno mi puoi aiutare?? Vi prego è importante!
Pochi semplici passaggi, da:
$3x=1(mod5)$
l'inverso di $3$ è $2$
$2*3x=2*1(mod5)$
Allora:
$6x=2(mod5)$
ma siccome $6\equiv1(5)$:
$x=2(mod5)$
che è la soluzione.
$3x=1(mod5)$
l'inverso di $3$ è $2$
$2*3x=2*1(mod5)$
Allora:
$6x=2(mod5)$
ma siccome $6\equiv1(5)$:
$x=2(mod5)$
che è la soluzione.
e come viene fuori che $x=-3+5k$???
$-3 \equiv 2 (5)$!!!!
Come si calcolano le congruenze con numeri negativi?
Ricordiamo la definizione:
$A\equiv B (mod n)$ se e solamente se $n|A-B$
in questo caso $-3 \equiv 2 (mod 5)$ poichè $5|-3-2=-5$!!!
$A\equiv B (mod n)$ se e solamente se $n|A-B$
in questo caso $-3 \equiv 2 (mod 5)$ poichè $5|-3-2=-5$!!!
ok grazie.
Senti, invece il primo esercizio....$5x-=8mod17$ me lo sai spiegare?
Senti, invece il primo esercizio....$5x-=8mod17$ me lo sai spiegare?
Seguiamo quanto ha fatto correttamente Tipper, lui parte considerando $gcd(5,17)=1$ questa è una condizione necessaria affinche ci sia soluzione! Da questo cerca l'inverso di $5$ che in questo caso è $7$ perchè $5*7=35=17*2+1$ che modulo $17$ è esattamente $1$.
Allora:
$5x=8 (mod 17)$
moltiplico ambo i membri per $7$
$7*5x =7*8 (17)$
$x=56 (17)$
ma il $56=51+5=17*3+5 \equiv 5(17)$
e quindi il risultato:
$x\equiv 5(17)$
Allora:
$5x=8 (mod 17)$
moltiplico ambo i membri per $7$
$7*5x =7*8 (17)$
$x=56 (17)$
ma il $56=51+5=17*3+5 \equiv 5(17)$
e quindi il risultato:
$x\equiv 5(17)$
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