Congruenza Polinomiale.
Determinare tutte le (eventuali) soluzioni della congruenza polinomiale, descrivendo brevemente il metodo seguito:
$4X^3 + 25X^2 + 24X + 36 -= 0 (mod 54)$
allora ho trovato subito le due soluzioni più semplici e cioè
$X^2 -= 0 (mod 2) -> y_1=0$
$4X^3+X^2 -= 0 (mod 3) -> y_2=0 e y_3=2$
trovando poi la derivata del polinomio e cioè $12X^2+7X+6$ ho notato che
$f^1(0)=6 -= 0 (mod 2) e f(0)=36 -= 0 (mod 9)$ quindi per $0<=t<=1$ si ha $x_0 = 0+ 0*2=0 x_1=0+1*2=2$
poi
$f^1(0)=6 -=0 (mod 3) e f(0)= 36 -= 0 (mod 9)$ quindi per $0<=k<=2 $si ha$ x_0=0+0*2=0 x_1= 0+1*3=2 x_2=0+2*3=6$
quindi le soluzioni di $F(X)= 4X^3+ 25X^2+24X+36 -= 0 (mod 9)$ sono
$0,2,3,6$
ora però devo fare la stessa cosa in modulo 27 e 54 ho provato tante volte ma non riesco ad arrivare ad una buona soluzione. Ringrazio chi riesce a farmi capire dove sbaglio, dandomi una mano per il proseguo dell'esercizio.
$4X^3 + 25X^2 + 24X + 36 -= 0 (mod 54)$
allora ho trovato subito le due soluzioni più semplici e cioè
$X^2 -= 0 (mod 2) -> y_1=0$
$4X^3+X^2 -= 0 (mod 3) -> y_2=0 e y_3=2$
trovando poi la derivata del polinomio e cioè $12X^2+7X+6$ ho notato che
$f^1(0)=6 -= 0 (mod 2) e f(0)=36 -= 0 (mod 9)$ quindi per $0<=t<=1$ si ha $x_0 = 0+ 0*2=0 x_1=0+1*2=2$
poi
$f^1(0)=6 -=0 (mod 3) e f(0)= 36 -= 0 (mod 9)$ quindi per $0<=k<=2 $si ha$ x_0=0+0*2=0 x_1= 0+1*3=2 x_2=0+2*3=6$
quindi le soluzioni di $F(X)= 4X^3+ 25X^2+24X+36 -= 0 (mod 9)$ sono
$0,2,3,6$
ora però devo fare la stessa cosa in modulo 27 e 54 ho provato tante volte ma non riesco ad arrivare ad una buona soluzione. Ringrazio chi riesce a farmi capire dove sbaglio, dandomi una mano per il proseguo dell'esercizio.
Risposte
Interessante e quantomeno coinvolgente questo simpatico esercizietto. Allora, ripeto alcuni tuoi passaggi per poi andare a concludere (tralascio alcuni dettagli che allungherebbero il tutto e ti invito a ripeterli per comprendere meglio):
[tex]4x^3+25x^2+24x+36 \equiv 0 (54)[/tex]
Si considera:
[tex]4x^3+25x^2+24x+36 \equiv 0 (2)[/tex]
che si riduce a:
[tex]x^2\equiv 0 (2)[/tex]
ovvero che [tex]x[/tex] è pari. Passiamo ora alla considerazione di:
[tex]4x^3+25x^2+24x+36 \equiv 0 (3)[/tex]
che si riduce a:
[tex]x^3+x^2\equiv 0 (3)[/tex]
[tex]x^2(x+1)\equiv 0 (3)[/tex]
da cui le due possibili soluzioni: [tex]x=3k[/tex] e [tex]x=3k+2[/tex]. consideriamo quest'ultima e andiamola a sostituire nella equazione principale:
[tex]4(3k+2)^3+25(3k+2)^2+24(3k+2)+36 \equiv 0 (54)[/tex]
con qualche conto otteniamo:
[tex]k(27k+30) \equiv 0 (54)[/tex]
ovvero la soluzione [tex]k \equiv 0 (54) \Rightarrow x=3(54 \lambda)+2 \Rightarrow x\equiv 2(54)[/tex] (Nota che [tex]27k+30 \equiv 0 (54)[/tex] non ha soluzione)
Supponiamo ora invece che [tex]x=3k[/tex], ritorniamo a sostituire nell'equazione principale:
[tex]4(3k)^3+25(3k)^2+24(3k)+36 \equiv 0 (54)[/tex]
e con un pochi di conti si giunge a:
[tex](k+1)^2 \equiv 3(6)[/tex]
ed alle "semplici" soluzioni di [tex]k \equiv 2(6) \Rightarrow x=3(6 \mu +2)=18 \mu +6[/tex] che genera le soluzioni [tex]x \equiv 6(54), x \equiv 24(54), x \equiv 42(54)[/tex], qui ho tralasciato l'altra soluzione in quanto noi sappiamo che [tex]x[/tex] è necessariamente pari!
That's all folks, Enjoy!
[tex]4x^3+25x^2+24x+36 \equiv 0 (54)[/tex]
Si considera:
[tex]4x^3+25x^2+24x+36 \equiv 0 (2)[/tex]
che si riduce a:
[tex]x^2\equiv 0 (2)[/tex]
ovvero che [tex]x[/tex] è pari. Passiamo ora alla considerazione di:
[tex]4x^3+25x^2+24x+36 \equiv 0 (3)[/tex]
che si riduce a:
[tex]x^3+x^2\equiv 0 (3)[/tex]
[tex]x^2(x+1)\equiv 0 (3)[/tex]
da cui le due possibili soluzioni: [tex]x=3k[/tex] e [tex]x=3k+2[/tex]. consideriamo quest'ultima e andiamola a sostituire nella equazione principale:
[tex]4(3k+2)^3+25(3k+2)^2+24(3k+2)+36 \equiv 0 (54)[/tex]
con qualche conto otteniamo:
[tex]k(27k+30) \equiv 0 (54)[/tex]
ovvero la soluzione [tex]k \equiv 0 (54) \Rightarrow x=3(54 \lambda)+2 \Rightarrow x\equiv 2(54)[/tex] (Nota che [tex]27k+30 \equiv 0 (54)[/tex] non ha soluzione)
Supponiamo ora invece che [tex]x=3k[/tex], ritorniamo a sostituire nell'equazione principale:
[tex]4(3k)^3+25(3k)^2+24(3k)+36 \equiv 0 (54)[/tex]
e con un pochi di conti si giunge a:
[tex](k+1)^2 \equiv 3(6)[/tex]
ed alle "semplici" soluzioni di [tex]k \equiv 2(6) \Rightarrow x=3(6 \mu +2)=18 \mu +6[/tex] che genera le soluzioni [tex]x \equiv 6(54), x \equiv 24(54), x \equiv 42(54)[/tex], qui ho tralasciato l'altra soluzione in quanto noi sappiamo che [tex]x[/tex] è necessariamente pari!
That's all folks, Enjoy!
Mi hai dato un altro metodo per risolvere questo tipo di esercizi, a dir la verità volevo toglierlo perchè dopo aver riprovato avevo raggiunto la soluzione finale, però mi studierò questo tuo caso che sinceramente lo trovo più intuitivo. Thanks Lord K
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