Congruenza modulo e resti

[pegasu1]

Mi sono accorto di avere un dubbio sulla strada seguita da una dimostrazione che in una seconda lettura non mi torna molto.

Due resti della divisione per n ∈N\{0} sono congrui modulo n ⇔ sono uguali.

DIMOSTRAZIONE. Siano r1 e r2 due resti. Allora 0 ≤r1,r2 r1 ≡n r2 allora n |r1 −r2. Quindi esiste q ∈Ztale che r1 −r2 = qn cio è
r1 = qn + r2. Allora r2 è il resto della divisione di r1 per n. Siccome vale
anche r1 = 0 ·n + r1, per unicità del resto si avra r1 = r2. Quindi
r1 ≡n r2 ⇒r1 = r2. L’altra implicazione è ovvia.

In particolare non riesco bene a capire un passaggio. Cioè quando dice che "siccome vale anche r1 = 0 ·n + r1, per unicità del resto si avra r1 = r2"

pensandoci infatti se prendessi:

a) r1 = q''·n + r1 => 5=2·2+1 con q=2, r1=5 e 1=r2

potrei sempre scrivere

b) r1 = q'·n + r1 => 5=0*2+5 con q=2, r1=5
ma come si nota 5 è diverso da 1.

insomma, credo il lemma valga se riesco a far vedere che q'=q''=0 sia nella (a) che nella (b) altrimenti non avrebbe senso parlare di unicità del resto, perché cambiando q' e q'' potrei avere benissimo resti diversi.

per quanto semplice mi sono incastrato, non capisco dove sbaglio.

[Alin2]

Ciao pegaso, ho dato un'occhiata alla tua dimostrazione....
Come arrivi a dire che se $r_1 ≡n r_2$ allora $ n |r1 −r2$. 

[G.D.5]

Per ipotesi \(r_{1}\) è il resto di una divisione per \(n\), quindi \(r_{1} < n\), sicché dividendo \(r_{1}\) per \(n\) il quoziente deve essere \(0\) ed il resto deve essere \(r_{1}\) stesso.

L'unicità di quoziente e resto si dimostra all'inizio, a prescindere dalle congrunze modulo \(n\), quando si introduce la divisione euclidea.

[G.D.5]

"Alin":
Come arrivi a dire che se $r_1 \equiv_{n} r_2$ allora $ n |r1 −r2$. 

È la sua definizione di congruenza modulo \(n\). Dati due interi \(a,b\) la definizione della congruenza modulo \(n\) può essere data o ponendo che \(n\) divida la differenza \(a - b\) o ponendo che \(a\) e \(b\) diano il medesimo resto nella divisione per \(n\). Si mostra che che le due posizioni si equivalgono.

P.S.
Per la congruenza modulo \(n\):

a \equiv_{n} b

oppure

a \equiv b \pmod{n}

[Alin2]

Era scritto male....scrivendolo come $ r1≡_n r2 $allora $ n∣r1−r2$ è tutto chiaro.
G.D. non riesco a leggere il tuo P.s.! Grazie

[G.D.5]

Nel PS ho semplicemente riportato i codici per scrivere correttamente (da un punto di vista notazionale) la congruenza modulo \(n\).