Congruenza modulo

[aritmetico]

Vorrei chiedervi se ci sia un modo furbo per semplificarmi la vita nel calcolo si qualcosa tipo

$2^23≡_(52)20$

E' un esempio casuale che mi sono inventato, però ogni volta me lo calcolo a mano e mi chiedo se ci sia qualche furbata per il calcolo operativo che possa semplificare le cose.

Ringrazio.

[hydro1]

Per calcolare $x$ modulo $52$ basta calcolarle $x$ modulo $4$ e poi $x$ modulo $13$, per il teorema cinese del resto. Ora $2^{23}$ è chiaramente $0$ modulo $4$, mentre modulo $13$ devi trovare l'ordine $n$ di $2$ nelle unità di \(\mathbb Z/13\) e poi calcolare $23$ modulo $n$. Ora siccome $2^6=64=-1$ modulo $13$ hai che $n=12$, ed essendo $23=-1$ modulo $12$ avrai che $2^{23}=1/2=7$ modulo $13$. Ora basta trovare l'unico intero tra $0$ e $51$ che è $0$ modulo $4$ e $7$ modulo $13$, che è $20$.

[aritmetico]

Grazie