Congruenza lineare parametrica

[Hornet345]

Ciao a tutti,
Non riesco a venirne a capo...
2x$-=$3-kmod4
L'Esercizio chiede il valore di k...il risultato indicato è 8.
Grazie in anticipo.

[Shocker1]

Ciao

Se chiede il valore di $k$ per cui la congruenza ha soluzione allora il risultato è sbagliato perché se $k=8$ allora avresti $2x \equiv 3 mod4$ che non ha soluzioni.
Comunque quando una congruenza lineare $ax \equiv b mod n$ ha soluzione? Beh quando $(a, n) | b$(un modo per capirlo è tradurre la congruenza in equazione diofantea), quindi $(2, 4) | 3 - k$, concludi tu.

[Hornet345]

Grazie 10000!

[Shocker1]

"Hornet345":Grazie 10000!

Prego, comunque aspetto una tua soluzione

[Hornet345]

ho trasformato la congruenza in equazione diofantea:
2x-(3-4K)=4h con h in Z
MCD(2,4)=2 che divide 3-k se k=2.
Va bene secondo te?
Grazie infinite

[Shocker1]

"Hornet345":Ciò ho trasformato la congruenza in equazione diofantea:
2x-(3-4K)=4h con h in Z
MCD(2,4)=2 che divide 3-k se k=2.
Va bene secondo te?
Grazie infinite

Ciao

Hai mal interpretato una mia frase

"Shocker":
Comunque quando una congruenza lineare $ ax \equiv b mod n $ ha soluzione? Beh quando $ (a, n) | b $(un modo per capirlo è tradurre la congruenza in equazione diofantea)

Qui intendevo dire che per capire perché $ax \equiv b mod n$ puoi tradurre la congruenza in eq. diofantea e poi applicare(o dimostrare) quel teorema che ti dice che un'equazione diofantea $ax + ny = b$ ha soluzione se e solo se $(a, n) | b$. Per risolvere l'esercizio non è necessario usare le diofantee(poi se vuoi sei libero di farlo )

Comunque hai tradotto male la congruenza: $2x \equiv 3-k mod 4$ equivale, applicando la definizione di congruenza, a $2x - (3-k) = 4h$ non a $2x-(3-4k) = 4h$. Ci sei?

Adesso osserva che se $k = 2$ allora avresti che $2 | 3-2 = 1$, assurdo.

Comunque hai scoperto che $2 | (3-k)$, che equivale a dire che $3-k \equiv 0 mod 2$, ossia $k \equiv 1 mod 2$, quindi la congruenza iniziale ha soluzione se e solo se $k$ è dispari.

[Hornet345]

Grazie per la risposta, potresti spiegarmi meglio il passaggio:
2|(3-k) equivale a 3-k $-=$ 0 mod 2 ?
Grazie 1000

[Shocker1]

"Hornet345":Grazie per la risposta, potresti spiegarmi meglio il passaggio:
2|(3-k) equivale a 3-k $-=$ 0 mod 2 ?
Grazie 1000

Ciao

Certo: $2 | (3-k)$ significa che $(3-k)$ è pari e quindi $3-k \equiv 0 mod 2$. Oppure puoi vederla così: $2 | ( 3- k)$ significa che esiste un certo intero $m \in \mathbb{Z}$ tale che $(3 - k) = 2m$, ma questo significa proprio che $3 - k \equiv 0 mod 2$(basta applicare la def di congruenza!).

Chiaro?

[Hornet345]

Si adesso ė tutto chiaro, grazie!