Congruenza

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Sto cercando di dimostrare che, se n non è multiplo di 4, allora $n^3+n+2 -= 0 mod 4$.
Pensavo di farlo per induzione assumendo che valga per n e dimostrando che
$(n+1)^3+n+1+2=n^3+3n^2+4n+4 -= 0 mod 4$
Sottraendo $n^3+n+2$ che per ipotesi è congruente a 0 ho
$3n^2+3n+2 -= 0 mod 4$ ma qui mi blocco...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi uno spunto?
$+oo$ grazie a tutti!!!

[Gi81]

Non ha senso dimostrare questa proprietà per induzione (perché?)

Ti suggerisco di ripartire da capo: dimostrare che $n^3+n+2-=0_(mod4)$ per ogni $n$ non multiplo di $4$.

Se $n $ non è multiplo di $4$, abbiamo tre casi:
1) $n-=1_(mod4)$
2) $n-=2_(mod4)$
3) $n-=3_(mod4)$

Esamina ciascuno di questi tre casi e arrivi alla soluzione

[Rggb1]

E comunque, non direi che è vera. Prova a verificare i tre casi, come suggerisce Gi8.

[Gi81]

@Rggb: a me risulta vera

[Rggb1]

Ma infatti mica avevo calcolato a mente non mi tornava per $n$ congruo a 2 modulo 4, ho ricontrollato e mi torna.

[DavideGenova1]

Grazie!!!! Considerando le tre possibili classi di resto cui può appartenere n i conti tornano anche a me. Sottintendendo mod4 osservo che
$n -= 1 => n^3 -=1,n+2-=3 => n^3+n+2-=4-=0$
$n -= 2 => n^3 -=8-=0,n+2-=0 => n^3+n+2-=0$
$n -= 3 => n^3 -=27-=3,n+2-=5-=1 => n^3+n+2-=0$
come volevasi dimostrare.
Grazie di cuore di nuovo!