Congruenza
Sia $tinZ$, la congruenza $t^5-=1(mod7)$, é possibile solo se $t-=1(mod7)$, cioè praticamente se $t$ è della forma $1+7k$, con $kinZ$, almeno così sembrerebbe secondo me, che ho poca dimestichezza con gli esercizi sulle congruenze.
Sia $tinZ$, prendiamo ad esempio le congruenze $t^3-=1(mod13)$, e $t^5-=1(mod11)$, ed ancora $t^2-=1(mod5)$, $t^2-=1(mod3)$,$t^2-=1(mod7)$,per quali valori di $t$ queste congruenze sono vere?
Ringrazio anticipatamente, e resto in attesa di una risposta.
Sia $tinZ$, prendiamo ad esempio le congruenze $t^3-=1(mod13)$, e $t^5-=1(mod11)$, ed ancora $t^2-=1(mod5)$, $t^2-=1(mod3)$,$t^2-=1(mod7)$,per quali valori di $t$ queste congruenze sono vere?
Ringrazio anticipatamente, e resto in attesa di una risposta.
Risposte
risolvere [tex]x^n \equiv 1 \bmod{p}[/tex] vuol dire trovare gli elementi di ordine [tex]n[/tex] in [tex]\mathbb{Z}_p^*[/tex] che è particolarmente facile se [tex]p[/tex] è primo, perchè allora lavori in un campo, e lì le soluzioni sono al più [tex]n[/tex], e siccome [tex]\mathbb{Z}_p^*[/tex] è anche ciclico, ricavi che le soluzioni sono proprio [tex]n[/tex].
Intanto ti ringrazio per la risposta, sicuramente quello che tu affermi è più che giusto, solo che io ancora non riesco a capacitarmi
con queste congruenze, il fatto è che ad esempio la congruenza da me riportata $t^5-=1(mod7)$ é possibile se $t-=1(mod7)$
quindi al di fuori delle soluzioni della forma $1+7k$ non ve ne sono, mentre se considero ad esempio la congruenza $t^3-=1(mod13)$, e sostituisco al generico $t$ il valore $3$, si ha $3^3-=1(mod13)$ cioè $27-1=26=(13)*(2)$, pertanto ho una soluzione
che non è della forma $1+13k$, cioè in questo caso non é necessario che sia $t-=1(mod13)$. Ti chiedo cortesemente se puoi dirmi se sbaglio in quello che ho asserito, e inoltre se mi puoi riportare qualche esempio concreto on le soluzioni. Ti ringrazio anticipatamente per l'aiuto, e resto in attesa di una risposta.
con queste congruenze, il fatto è che ad esempio la congruenza da me riportata $t^5-=1(mod7)$ é possibile se $t-=1(mod7)$
quindi al di fuori delle soluzioni della forma $1+7k$ non ve ne sono, mentre se considero ad esempio la congruenza $t^3-=1(mod13)$, e sostituisco al generico $t$ il valore $3$, si ha $3^3-=1(mod13)$ cioè $27-1=26=(13)*(2)$, pertanto ho una soluzione
che non è della forma $1+13k$, cioè in questo caso non é necessario che sia $t-=1(mod13)$. Ti chiedo cortesemente se puoi dirmi se sbaglio in quello che ho asserito, e inoltre se mi puoi riportare qualche esempio concreto on le soluzioni. Ti ringrazio anticipatamente per l'aiuto, e resto in attesa di una risposta.
hai ripetuto due volte la stessa cosa, andava bene prima, va bene anche adesso.
capisco che possa non sembrarti ovvio, ma è così, e c'è un motivo, che è quello che ti ho scritto nel messaggio precedente, l'hai capito?
capisco che possa non sembrarti ovvio, ma è così, e c'è un motivo, che è quello che ti ho scritto nel messaggio precedente, l'hai capito?
Scusa se sono stato ripetitivo ed insisto sulla questione, ma francamente ancora non riesco a capirla, anche se quello che asserisci sarà sicuramente esatto, inoltre mi interessava risolvere concretamente tali congruenze, cioè trovarne le soluzioni, in quanto questo mi permetterebbe di chiarire e risolvere un problema sui gruppi finiti senza ricorrere ai teoremi di Sylow.
Ho capito solo che in qualche modo la questione è legata al fatto che $Z_p$ è un gruppo ciclico di ordine primo.
Però andando ad un caso concreto stando a quello che asserisci, per la congruenza $t^5-=1(mod7)$, esisterebbero esattamente
$5$ soluzioni per $tinZ$, ma questa congruenza è possibile solo se $t-=1(mod7)$, quindi le soluzioni sono tutti gli elementi della forma $1+7k$con $kinZ$, cioè $t=8,t=(-6),t=15,t=(-13),t=22,......$ e così via, non sono tutte soluzioni?,o mi sbaglio? Inoltre non appena prendo degli elementi di altra forma come ad esempio $2+7k$,nessuno di questi è più soluzione della congruenza su citata. Mi scuso se magari ho scritto delle cose errate, ma come si suol dire errando si impara, ti sarei grato se riuscissi a illustrarmi la questione con un caso concreto.Comunque grazie e resto in attesa di una risposta..
Ho capito solo che in qualche modo la questione è legata al fatto che $Z_p$ è un gruppo ciclico di ordine primo.
Però andando ad un caso concreto stando a quello che asserisci, per la congruenza $t^5-=1(mod7)$, esisterebbero esattamente
$5$ soluzioni per $tinZ$, ma questa congruenza è possibile solo se $t-=1(mod7)$, quindi le soluzioni sono tutti gli elementi della forma $1+7k$con $kinZ$, cioè $t=8,t=(-6),t=15,t=(-13),t=22,......$ e così via, non sono tutte soluzioni?,o mi sbaglio? Inoltre non appena prendo degli elementi di altra forma come ad esempio $2+7k$,nessuno di questi è più soluzione della congruenza su citata. Mi scuso se magari ho scritto delle cose errate, ma come si suol dire errando si impara, ti sarei grato se riuscissi a illustrarmi la questione con un caso concreto.Comunque grazie e resto in attesa di una risposta..
No. Stiamo lavorando in un campo che non è algebricamente chiuso. Pertanto le soluzioni di [tex]t^5 \equiv 1 \pmod{7}[/tex] sono al più 5. In effetti, l'unica soluzione è proprio [tex]t \equiv 1 \pmod{7}[/tex]...
Scusate se magari scrivo delle cose completamente inesatte, ma sto cercando di prendere un po' di confidenza con l'argomento
delle congruenze, che conosco pochissimo.
A quanto ho capito ad esempio le possibili soluzioni della congruenza $t^5-=1(mod7)$ sono le classi resto modulo $7$ cioè
gli elementi di $Z_7$, quindi $[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]=[0]$, avendole provate tutte ho constatato che in questo caso
l'unica soluzione è l'elemento $[1]$, il che equivale a dire che l'unica soluzione è proprio $t-=1(mod7)$, ed è l'unicità della soluzione che
per quanto mi riguarda è di interesse.
Se considero però la congruenza ad esempio $t^3-=1(mod13)$ la soluzione non è più unica, infatti oltre alla soluzione $[1]inZ_13$, anche
$[3]inZ_13$ ne è una soluzione se non sbaglio.
Come si può osservare nel primo caso $5$ non divide $7-1=6$, nel secondo caso $3$ divide$13-1=12$, c'è per caso un nesso tra questo fatto e l'unicità o meno della soluzione di tali congruenze?
Si può generalizzare? Cioè se abbiamo una congruenza del tipo $t^q-=1(modp)$ con $q$,$p$, primi, $q
mi segnalaste le lacune e gli errori dell'esposto . Ringrazio anticipatamente e resto in attesa di una risposta,
delle congruenze, che conosco pochissimo.
A quanto ho capito ad esempio le possibili soluzioni della congruenza $t^5-=1(mod7)$ sono le classi resto modulo $7$ cioè
gli elementi di $Z_7$, quindi $[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]=[0]$, avendole provate tutte ho constatato che in questo caso
l'unica soluzione è l'elemento $[1]$, il che equivale a dire che l'unica soluzione è proprio $t-=1(mod7)$, ed è l'unicità della soluzione che
per quanto mi riguarda è di interesse.
Se considero però la congruenza ad esempio $t^3-=1(mod13)$ la soluzione non è più unica, infatti oltre alla soluzione $[1]inZ_13$, anche
$[3]inZ_13$ ne è una soluzione se non sbaglio.
Come si può osservare nel primo caso $5$ non divide $7-1=6$, nel secondo caso $3$ divide$13-1=12$, c'è per caso un nesso tra questo fatto e l'unicità o meno della soluzione di tali congruenze?
Si può generalizzare? Cioè se abbiamo una congruenza del tipo $t^q-=1(modp)$ con $q$,$p$, primi, $q
mi segnalaste le lacune e gli errori dell'esposto . Ringrazio anticipatamente e resto in attesa di una risposta,
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