Congettura sui reticoli
Salve, mentre facevo certi esercizi sui reticoli ho pensato una cosa che non riesco ne a provare ne a confutare. Probabilmente è banale cmq ve la propongo.
Alcune premesse. Sia $L$ un reticolo:
Un sottoinsieme (eventualmente vuoto) $K \subset L$ si dice convesso se $\forall a,b \in K (a <= x <= b -> x \in K)$. L'insieme delle parti convesse di $L$ ordinato mediante l'inclusione costituisce un reticolo. Indichiamo questo reticolo con $K(L)$.
Un sottoreticolo $M$ di $L$ è un sottoinsieme (eventualmente vuoto) tale che se $a,b \in M$ allora $a ^^ b \in M$ e $a vv b \in M$. L'insieme dei sottoreticoli ordinato mediante la relazione di inclusione è un reticolo che indichiamo con $Sub(L)$.
Congettura: Se $L$ è un reticolo finito allora $Sub(L)$ contiene un sottoreticolo isomorfo a $K(L)$ oppure $K(L)$ contiene un sottoreticolo isomorfo a $Sub(L)$.
Se qualcuno mi vuol dare una dritta son contento. Grazie mille!
Alcune premesse. Sia $L$ un reticolo:
Un sottoinsieme (eventualmente vuoto) $K \subset L$ si dice convesso se $\forall a,b \in K (a <= x <= b -> x \in K)$. L'insieme delle parti convesse di $L$ ordinato mediante l'inclusione costituisce un reticolo. Indichiamo questo reticolo con $K(L)$.
Un sottoreticolo $M$ di $L$ è un sottoinsieme (eventualmente vuoto) tale che se $a,b \in M$ allora $a ^^ b \in M$ e $a vv b \in M$. L'insieme dei sottoreticoli ordinato mediante la relazione di inclusione è un reticolo che indichiamo con $Sub(L)$.
Congettura: Se $L$ è un reticolo finito allora $Sub(L)$ contiene un sottoreticolo isomorfo a $K(L)$ oppure $K(L)$ contiene un sottoreticolo isomorfo a $Sub(L)$.
Se qualcuno mi vuol dare una dritta son contento. Grazie mille!
Risposte
Che succede se googli? Magari il problema e' noto. Io non so nulla di teoria dei lattici, e pero' mi sembra interessante (o meglio, ho capito la domanda, cosa rara)...
Googlando non ho trovato questo problema in particolare ma ho trovato un problema simile
Quali sono i reticoli che si possono immergere in $K(P)$ per qualche reticolo $P$ ??
che non è di facile risoluzione.
Inoltre ho visto che in generale lo studio dei sottoreticoli di $K(P)$ è abbastanza complesso. Questo però non implica che la mia congettura debba essere altrettanto difficile... anche perchè magari è falsa, potrebbe bastare un buon controesempio a risolvere la questione. Ho pensato che una strada potrebbe essere cercare un reticolo $L$ tale che $Sub(L)$ non è distributivo ma $K(L)$ invece si, così si esclude subito la possibilità di immergere $Sub(L)$ in $K(L)$ ... se a qualcuno viene un colpo di genio mi faccia un fischio. 
Quali sono i reticoli che si possono immergere in $K(P)$ per qualche reticolo $P$ ??
che non è di facile risoluzione.
Inoltre ho visto che in generale lo studio dei sottoreticoli di $K(P)$ è abbastanza complesso. Questo però non implica che la mia congettura debba essere altrettanto difficile... anche perchè magari è falsa, potrebbe bastare un buon controesempio a risolvere la questione. Ho pensato che una strada potrebbe essere cercare un reticolo $L$ tale che $Sub(L)$ non è distributivo ma $K(L)$ invece si, così si esclude subito la possibilità di immergere $Sub(L)$ in $K(L)$ ... se a qualcuno viene un colpo di genio mi faccia un fischio.
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