Congettura di Paul Erdős
Una congettura di Erdős afferma che se la somma dei reciproci dei membri di un insieme $A$ di interi positivi diverge,
allora $A$ contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe .
Se
$\sum_{n in A} 1/n=prop$
allora $A$ contiene progressioni aritmetiche di ogni lunghezza data .
Me la spiegate meglio , magari con un'esempio numerico .
allora $A$ contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe .
Se
$\sum_{n in A} 1/n=prop$
allora $A$ contiene progressioni aritmetiche di ogni lunghezza data .
Me la spiegate meglio , magari con un'esempio numerico .
Risposte
Una progressione aritmetica è definita come una successione in cui la differenza tra due numeri successivi è costante. Per prima cosa, se tronchiamo la nostra somma ad un certo valore, ovviamente, questa non andrà all'infinito, quindi l'insieme A deve essere infinito. A questo punto tutto si "riduce" al riuscire a creare una progressione aritmetica coi numeri che hai, se hai abbastanza pazienza nel guardare i numeri, riesci a collezionarne abbastanza che siano distanti uguale tra loro.
Un insieme $A$ facile per cui vedi la cosa è $A=P=2NN$, in cui tutti i numeri sono in progressione aritmetica di passo 2 e ovviamente infinita; meno facile però è vedere se è vero per altri insiemi per esempio: {2,...,9,20,...,99,200,...,999...}
Ogni volta che provi a dare un passo c'è un buco che lo blocca, se convergesse saremmo apposto ma se non lo fa allora abbiamo fregato Erdos
Un insieme $A$ facile per cui vedi la cosa è $A=P=2NN$, in cui tutti i numeri sono in progressione aritmetica di passo 2 e ovviamente infinita; meno facile però è vedere se è vero per altri insiemi per esempio: {2,...,9,20,...,99,200,...,999...}
Ogni volta che provi a dare un passo c'è un buco che lo blocca, se convergesse saremmo apposto ma se non lo fa allora abbiamo fregato Erdos
"Maci86":
Ogni volta che provi a dare un passo c'è un buco che lo blocca, se convergesse saremmo apposto ma se non lo fa allora abbiamo fregato Erdos
Puoi spiegarti ancora meglio con un esempio numerico ...
battere Paul Erdős ?! ...probabilmente ha ragione lui ... ciao
Per come ho costruito l'insieme, sempre che non converga, sicuramente non puoi avere una progressione con passo 1, perché cascheresti dentro al buco tra 9 e 20, con passo 11 o cascheresti nel buco tra 99 e 200, 101 o caschi tra 999 e 2000 e via così 
Solo che non so se converge o meno (Mi è venuto in mente così al volo, non mi farebbero male i 5000 dollari in palio )
Solo che non so se converge o meno (Mi è venuto in mente così al volo, non mi farebbero male i 5000 dollari in palio )
dai maci non pensare ai soldi ...
1) per passo intendi la ragione della progressione ?
2) i termini delle progressioni mica devono essere infiniti
Non è meglio dimostrare la congettura come vera ?!
p.s. : io per progressione convergente intendo una progressione che primo o poi finisce , giusto ?
1) per passo intendi la ragione della progressione ?
2) i termini delle progressioni mica devono essere infiniti
Non è meglio dimostrare la congettura come vera ?!
p.s. : io per progressione convergente intendo una progressione che primo o poi finisce , giusto ?
ops dimenticavo
[ot]sto uscendo , scusa se ti rispondo eventualmente con ritardo ...
[/ot]
[ot]sto uscendo , scusa se ti rispondo eventualmente con ritardo ...
[/ot]
1) Sì
2) No, ma se vuoi che la somma sia infinita non puoi farlo con un numero finito di termini
La congettura diciamo che non è così facile dimostrarla, soldi a parte (li voglio, li voglio, li voglio) ehm, soldi a parte, il mio è un piccolo esempio che sembrerebbe andar contro alla congettura che, essendo ancora congettura, potrebbe essere vera o meno (più facile sia vera)
Per convergente intendo la serie degli $1/n$ associati alla successione, che si dice convergente se la somma infinita dei termini è un numero reale e divergente se va ad infinito. Non penso si possa dire successione convergente..
2) No, ma se vuoi che la somma sia infinita non puoi farlo con un numero finito di termini
La congettura diciamo che non è così facile dimostrarla, soldi a parte (li voglio, li voglio, li voglio) ehm, soldi a parte, il mio è un piccolo esempio che sembrerebbe andar contro alla congettura che, essendo ancora congettura, potrebbe essere vera o meno (più facile sia vera
)Per convergente intendo la serie degli $1/n$ associati alla successione, che si dice convergente se la somma infinita dei termini è un numero reale e divergente se va ad infinito. Non penso si possa dire successione convergente..
cmq ancora non ho ben capito cosa si dovrebbe dimostrare oppure smentire 
Devi smentire o dimostrare che puoi creare delle progressioni aritmetiche lunghe quanto vuoi nell'insieme che prendi
Cioè liste di numeri distanti una certa ragione.
Cioè liste di numeri distanti una certa ragione.
Spiegato nella maniera più semplice possibile, e soprattutto come l'ho intesa io, questa congettura dice che se esiste una certo insieme $A$ formato solo da numeri interi positivi tale che la somma dei reciproci di tutti gli elementi di $A$ diverge (e di conseguenza questo insieme deve essere formato da infiniti termini), allora l'insieme contiene infinite progressioni aritmetiche di qualunque lunghezza. È molto difficile fare un esempio numerico, l'esempio che ha fatto Maci prima comunque è chiaro.
grz prof 
dunque :
1) la somma dei reciproci diverge solo se i termini della progressione (o i termini dell'nsieme degli interi $A$) sono infiniti ?
2) a divergere devono essere la somma dei reciproci dei termini della progressione o quelli dell'insieme degli interi $A$ al cui interno possiamo individuare la progressione ?
Ciao
dunque :
1) la somma dei reciproci diverge solo se i termini della progressione (o i termini dell'nsieme degli interi $A$) sono infiniti ?
2) a divergere devono essere la somma dei reciproci dei termini della progressione o quelli dell'insieme degli interi $A$ al cui interno possiamo individuare la progressione ?
Ciao
Scusami, ho interpretato in modo completamente sbagliato la congettura (ed in effetti mi pareva un po' strana, in questi giorni ho il cervello che non funziona) 
Dopo avere editato il mio post che diceva una marea di balle, ti rispondo:
1) Una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti, quindi sì.
2) Qui mi sono reso conto che avevo detto una stupidaggine di dimensioni colossali, è la somma dei reciproci dei numeri interi positivi che formano l'insieme $A$.
Maledetto me che faccio tutto troppo velocemente senza pensare!
Dopo avere editato il mio post che diceva una marea di balle, ti rispondo:
1) Una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti, quindi sì.
2) Qui mi sono reso conto che avevo detto una stupidaggine di dimensioni colossali, è la somma dei reciproci dei numeri interi positivi che formano l'insieme $A$.
Maledetto me che faccio tutto troppo velocemente senza pensare!
Scusate ragazzi, mi metto un po' in mezzo, va'...!
Premetto che grazie agli interventi di Maci86 e a qualche assestamento di Pianoth... ci ho capito qualcosa con la congettura di Erdos.
Comunque
Una cosa molto simile è utilizzata da Eulero per dimostrare l'infinità dei primi (ci ritorno un pizzico dopo la prossima cosa).
Calma, calma... Non è affatto detto.
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}$ converge
(Per chi è interessato, è il così detto "problema di Basilea" se non ricordo male: c'è una pagina apposta su wiki).
Tornando a prima, la serie
$\sum_(n=1)^\infty 1/n$
è detta serie armonica e diverge (posso assicurarvi che la divergenza di questa serie stupisce chiunque si trova alle prese con Analisi I). Vi chiedete perché vi dico/ripeto (per chi lo sa) questa cosa.
Il punto è che sono portato a supporre - ma chiedo a Maci86 di smentirmi dato che di algebra/tdn ne sa più di me
- che la serie considerata da Erdos è una "sottoserie" (si dice?) o comunque un sottocaso della serie armonica appena detta. Tale serie armonica diverge solo se i termini della stessa sono infiniti, altrimenti converge.
Quindi, correggendo il tiro di quanto dice Pianoth
- se una serie ha un numero finito di termini, converge proprio perché è una somma finita
- se una serie ha un numero infinito di termini... non è detto che diverge, dipende.
Dimenticavo.
Tornando ad Eulero, quest'ultimo ha dimostrato che
$\sum_(i=1)^\infty 1/p_i$
è una serie divergente ($p_i$ è l'$i$-esimo primo). Da questo si conclude automaticamente che i primi sono infiniti perché una qualsiasi serie, per divergere, deve per forza avere infiniti termini (e anche lì non è detto)...
Personalmente la dimostrazione di Eulero mi è rimasta un po' ostica e preferisco quella originaria di Euclide (che so che Stellinelm conosce molto bene).
Premetto che grazie agli interventi di Maci86 e a qualche assestamento di Pianoth... ci ho capito qualcosa con la congettura di Erdos.
Comunque
"Stellinelm":
1) la somma dei reciproci diverge solo se i termini della progressione (o i termini dell'nsieme degli interi $ A $) sono infiniti ?
Una cosa molto simile è utilizzata da Eulero per dimostrare l'infinità dei primi (ci ritorno un pizzico dopo la prossima cosa).
"Pianoth":
1) Una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti, quindi sì.
Calma, calma... Non è affatto detto.
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}$ converge
(Per chi è interessato, è il così detto "problema di Basilea" se non ricordo male: c'è una pagina apposta su wiki).
Tornando a prima, la serie
$\sum_(n=1)^\infty 1/n$
è detta serie armonica e diverge (posso assicurarvi che la divergenza di questa serie stupisce chiunque si trova alle prese con Analisi I). Vi chiedete perché vi dico/ripeto (per chi lo sa) questa cosa.
Il punto è che sono portato a supporre - ma chiedo a Maci86 di smentirmi dato che di algebra/tdn ne sa più di me
- che la serie considerata da Erdos è una "sottoserie" (si dice?) o comunque un sottocaso della serie armonica appena detta. Tale serie armonica diverge solo se i termini della stessa sono infiniti, altrimenti converge.Quindi, correggendo il tiro di quanto dice Pianoth
- se una serie ha un numero finito di termini, converge proprio perché è una somma finita
- se una serie ha un numero infinito di termini... non è detto che diverge, dipende.
Dimenticavo.
Tornando ad Eulero, quest'ultimo ha dimostrato che
$\sum_(i=1)^\infty 1/p_i$
è una serie divergente ($p_i$ è l'$i$-esimo primo). Da questo si conclude automaticamente che i primi sono infiniti perché una qualsiasi serie, per divergere, deve per forza avere infiniti termini (e anche lì non è detto)...
Personalmente la dimostrazione di Eulero mi è rimasta un po' ostica e preferisco quella originaria di Euclide (che so che Stellinelm conosce molto bene).
"Zero87":
[quote="Pianoth"]1) Una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti, quindi sì.
Calma, calma... Non è affatto detto.
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}$ converge
[/quote]Ma certo, lo so
Mi sono espresso male: con "una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti" intendevo dire "una somma può divergere solo se i termini sono infiniti"... Scusa per l'imprecisione, hai ragione
"Pianoth":
[quote="Zero87"]
[quote="Pianoth"]1) Una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti, quindi sì.
Calma, calma... Non è affatto detto.
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2}$ converge
[/quote]Ma certo, lo so
Mi sono espresso male: con "una qualunque somma diverge solo se i termini sono infiniti" intendevo dire "una somma può divergere solo se i termini sono infiniti"... Scusa per l'imprecisione, hai ragione [/quote]Non preoccuparti.
Buona Pasqua forumisti
1) la somma dei reciproci diverge solo se i termini della progressione (o i termini dell'nsieme degli interi $A$) sono infiniti ?
Una somma in generale, se diverge, diverge perché ha infiniti termini.
2) a divergere devono essere la somma dei reciproci dei termini della progressione o quelli dell'insieme degli interi $A$ al cui interno possiamo individuare la progressione ?
Quelli dell'insieme $A$, sotto la sommatoria c'è infatti scritto che i termini variano in $A$.
Zero, la questione è che è esattamente la sottoserie che somma tutti gli inversi degli elementi di $A$. Ed è il vero nocciolo della questione, capire se l'insieme converge o meno. L'insieme del mio esempio, costruito apposta per tendere un tranello ad Erdos, son quasi sicuro sia contro Erdos per la lunghezza delle progressioni ma non son sicuro diverga..
Una somma in generale, se diverge, diverge perché ha infiniti termini.
2) a divergere devono essere la somma dei reciproci dei termini della progressione o quelli dell'insieme degli interi $A$ al cui interno possiamo individuare la progressione ?
Quelli dell'insieme $A$, sotto la sommatoria c'è infatti scritto che i termini variano in $A$.
Zero, la questione è che è esattamente la sottoserie che somma tutti gli inversi degli elementi di $A$. Ed è il vero nocciolo della questione, capire se l'insieme converge o meno. L'insieme del mio esempio, costruito apposta per tendere un tranello ad Erdos, son quasi sicuro sia contro Erdos per la lunghezza delle progressioni ma non son sicuro diverga..
Se non vedo male (ho fatto una stima a mente)
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=2 \cdot 10^{n}}^{10^{n+1} -1} \frac{1}{k}\] dovrebbe essere divergente, ma non sono sicuro che l'insieme di Maci86 sia un controesempio. Infatti comunque io scelga \(k \in \mathbb{N}\)*, in un qualunque sottoinsieme di \(A\) del tipo \[ \{2 \cdot 10^n, \dots, 10^{n+1}-1\}\] con \(n > k\) posso trovare una progressione (banale) con \(k\) elementi.
________________
* E wiki.eng dice proprio arithmetic progressions of any given length.
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=2 \cdot 10^{n}}^{10^{n+1} -1} \frac{1}{k}\] dovrebbe essere divergente, ma non sono sicuro che l'insieme di Maci86 sia un controesempio. Infatti comunque io scelga \(k \in \mathbb{N}\)*, in un qualunque sottoinsieme di \(A\) del tipo \[ \{2 \cdot 10^n, \dots, 10^{n+1}-1\}\] con \(n > k\) posso trovare una progressione (banale) con \(k\) elementi.
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* E wiki.eng dice proprio arithmetic progressions of any given length.
Se avessi trovato un vero contro esempio sarei un genio, ma è la cosa che più assomigliava a una trappola a buchi o crivello che mi sia venuta in mente al volo, potrei costruirla meglio Ma penso tu sappia già cosa volevo fare con quell'esempio
Ma penso tu sappia già cosa volevo fare con quell'esempio
"Maci86":
Se avessi trovato un vero contro esempio sarei un genio
E avresti anche 5000 dollari.
Io il controesempio l'ho trovato, in un prossimo post lo scrivo meglio.
Potresti offrirmi una cena allora, coi 5000 euro!
"Maci86":
Potresti offrirmi una cena allora, coi 5000 euro!
Te la offrirei veramente... se fosse vero.
[size=80](Non penso che ci sei cascato nel pesce d'aprile anche perché fino a ieri non sapevo nemmeno dell'esistenza della congettura di Erdos...)[/size]
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