Conferme correttezza esercizi

[nato_pigro1]

Sto facendo un po' di esercizi, alcuni non mi vengo, e fin qui tutto regolare, altri mi vengo e quindi mi viene il dubbio che siano sbagliati.

Scrivo i testi e le mie risoluzioni mi serve che mi diciate se sono giusti... grazie.

1_ Consideriamo $ZZ_n$. Provare che se $\bar a$ e $\bar b$ sono invertibili lo è anche $\bar ab$.

La condizione per essere invertibili so che è $MCD(a,n)=1$ e $MCD(a,n)=1$. Se per assurdo $MCD(a,n)≠1$ allora esiste un $p$ primo tale che $p|ab$ ma se $p$ è primo, per un lemma, vale che $p|a$ o $p|b$ che è assurdo.

2_L'insieme ${n in NN: \bar (2^n) = \bar 4}$ in $ZZ_7$ è infinito?

si tratta di vedere quante sono le potenze di $2$ del tipo $7m+4$

$1*s-7m=4$ dove so che $s$ è una potenza di $2$; una soluzione è $(32, 4)$
e tutte le soluzioni sono ${32-7k, 4+2k): k in ZZ}$

ma $32-7k$ deve essere una potenza di $2$ quindi deve avere solo dei $2$ tra i sui fattori primi...
e quando ho iniziato a scriverlo credevo di concludere (avevo trovare la soluzione $(2^8, 36)$ ma non significa niente) ma invece non riesco, e comunque mi sembra una strada troppo lunga...
se me ne sapete consigliare un'altra... grazie

[Dorian1]

"nato_pigro":
1_ Consideriamo $ZZ_n$. Provare che se $\bar a$ e $\bar b$ sono invertibili lo è anche $\bar ab$.

La condizione per essere invertibili so che è $MCD(a,n)=1$ e $MCD(a,n)=1$. Se per assurdo $MCD(a,n)≠1$ allora esiste un $p$ primo tale che $p|ab$ ma se $p$ è primo, per un lemma, vale che $p|a$ o $p|b$ che è assurdo.

Hai afferrato l'idea, ma dovresti esprimerla meglio... Infatti si trova l'assurdo nel fatto che $p$ divida sia $a$ (o $b$) che $n$ (cosa che, probabilmente, hai sottointeso...)

Io lo mostrerei così: $[a],$ sono invertibili, quindi le congruenze:

$ax equiv 1 mod n$ e $by equiv 1 mod n$

hanno una ed una sola soluzione modulo $n$. Per una proprietà delle congruenze, ci è dato moltiplicare i "membri" tra di loro:

$ab(xy) equiv 1 mod n$

si trae che $[xy]$ è l'inverso della classe $[ab]$.

"nato_pigro":
2_L'insieme ${n in NN: \bar (2^n) = \bar 4}$ in $ZZ_7$ è infinito?

Dopo aver chiamato $X$ quest'insieme, operiamo una semplificazione: supponiamo $n>2$ e consideriamo l'uguaglianza:

$2^n=7k+4 =>2^n-4=7k => 4(2^(n-2)-1)=7k$. Siccome $7$ è un primo che divide un prodotto, ma non divide $4$, abbiamo che $7 | 2^(n-2)-1$, ossia $2^(n-2) equiv 1 mod 7$ (osservazione inutile: il piccolo terorema di Fermat dice che $n=8$ fa al caso nostro...). Abbiamo quindi la possibilità di risolvere il problema equivalente (ove $m$:=$n-2$):

"Dire se l'insieme ${m in NN$ | $[2^m]_7=[1]_7}$ è infinito o meno"

supponiamo che questo nuovo insieme sia finito. Quindi poniamo $k:=max(X)$. Vuol dire che:

$[2^k]_7=[1]_7 =>$ (*) $[2^(2k)]_7=[2^k]_7 => [2^(2k)]_7=[1]_7$ che contraddice la massimalità di $k$...


(*) in altre parole, $2^k equiv 1 mod 7$, moltiplico ambo i "membri" per $2$, $k$ volte (per la proprietà delle congruenze usata nell'esercizio precedente...) allora $2^(2k) equiv 2^k mod 7$.